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Titanische Primzahl
Der Begriff titanische Primzahl (englisch titanic prime (number)) wurde von Samuel Yates geprägt und bezeichnet eine Primzahl mit mindestens 1000 Dezimalstellen …
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Definition und frühe Beispiele
Eine titanische Primzahl ist eine Primzahl mit mindestens 1000 Dezimalstellen. Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst ohne Rest teilbar ist.
Die kleinsten titanischen Primzahlen besitzen genau 1000 Stellen und haben die Form p = 10^999 + n. Die ersten Werte für n sind 7, 663, 2121, 2593, 3561, 4717, 5863, 9459, 11239 und 14397. Somit ist 10^999 + 7 die kleinste titanische Primzahl. Die größte nicht-titanische Primzahl ist 10^999 − 6101; sie hat 999 Stellen.
Die ersten beiden titanischen Primzahlen wurden am 3. November 1961 von Alexander Hurwitz entdeckt. Es waren die Mersenne-Primzahlen M_4253 = 2^4253 − 1 mit 1281 Stellen und M_4423 = 2^4423 − 1 mit 1332 Stellen. Mersenne-Primzahlen sind Primzahlen der Form 2^p − 1. Die Primalität von M_4253 wurde zuerst berechnet, doch Hurwitz bemerkte die Computerausgabe von M_4423 wenige Sekunden früher. Nach einer Diskussion zwischen John Selfridge und Hurwitz gilt deshalb offiziell M_4423 als zuerst entdeckt. Samuel Yates bezeichnete eine Person, die eine titanische Primzahl entdeckt hat, als „Titan“.
Größenklassen
Titanische Primzahlen werden nach ihrer Anzahl an Dezimalstellen weiter eingeteilt:
• Titanische Primzahl: mindestens 1000 Stellen.
• Gigantische Primzahl: mindestens 10.000 Stellen.
• Megaprimzahl: mindestens 1.000.000 Stellen.
• Bevaprimzahl: mindestens 1.000.000.000, also eine Milliarde Stellen.
Damit ist jede gigantische Primzahl zugleich titanisch, jede Megaprimzahl zugleich gigantisch und jede Bevaprimzahl zugleich eine Megaprimzahl.
Gigantische Primzahlen
Eine gigantische Primzahl besitzt mindestens 10.000 Dezimalstellen. Die erste bekannte Zahl dieser Art wurde am 8. April 1979 von Harry L. Nelson und David Slowinski entdeckt: die Mersenne-Primzahl M_44497 = 2^44497 − 1 mit 13.395 Stellen.
Die kleinsten gigantischen Primzahlen haben genau 10.000 Stellen und die Form p = 10^9999 + n. Die ersten zugehörigen Werte von n sind 33603, 55377, 70999, 78571, 97779, 131673, 139579 und 236761. Die kleinste gigantische Primzahl ist daher 10^9999 + 33603. Sie wurde im August 2003 von Jens Franke, Thorsten Kleinjung und Tobias Wirth entdeckt. Die größte titanische, aber noch nicht gigantische Primzahl ist 10^9999 − 11333 mit 9999 Stellen.
Mit einem normalen PC können heutzutage mehrere ähnlich kleine gigantische Primzahlen pro Tag entdeckt werden.
Mega- und Bevaprimzahlen
Eine Megaprimzahl hat mindestens eine Million Dezimalstellen. Die erste wurde am 1. Juni 1999 von Nayan Hajratwala entdeckt: M_6972593 = 2^6972593 − 1 mit 2.098.960 Stellen. Am 11. Februar 2026 waren 4031 Megaprimzahlen sowie 168 sogenannte PRP-Zahlen mit mindestens einer Million Stellen bekannt. PRP bedeutet „probable prime“: Solche Zahlen erfüllen viele Eigenschaften einer Primzahl, ihre Primalität ist aber noch nicht sicher bewiesen.
Die kleinste gesicherte Megaprimzahl ist 10^999999 + 308267 · 10^292000 + 1. Sie hat genau 1.000.000 Stellen und wurde am 19. Februar 2021 von Serge Batalov entdeckt. Die Zahl 10^999999 + 593499 ist ebenfalls eine Million Stellen lang und die kleinste entsprechende PRP-Zahl; sie wurde im Februar 2013 von Peter Kaiser gefunden.
Eine Bevaprimzahl besitzt mindestens 1.000.000.000 Dezimalstellen. Sie wird auch Gigaprimzahl genannt, wobei dieser Name leicht mit „gigantische Primzahl“ verwechselt werden kann. Bis zum angegebenen Stand war noch keine Bevaprimzahl bekannt. Dennoch weiß man, dass fast alle Primzahlen Bevaprimzahlen sind: Nach dem Satz von Euklid gibt es unendlich viele Primzahlen, während nur endlich viele Zahlen weniger als eine Milliarde Stellen besitzen. Daher müssen alle übrigen Primzahlen mehr als eine Milliarde Stellen haben.
Rekorde und Nachweisstatus
Bei Rekorden ist zwischen bewiesenen Primzahlen und PRP-Zahlen zu unterscheiden. Beispiele für noch nicht vollständig gesicherte Grenzwerte sind 10^99999 − 59511 mit 99.999 Stellen und 10^99999 + 309403 mit 100.000 Stellen. Beide werden als PRP geführt. Die größte gesicherte gigantische Primzahl unterhalb der Megaprimzahl-Grenze ist 10^999999 − 1022306 · 10^287000 − 1 mit 999.999 Stellen; Ryan Propper und Serge Batalov entdeckten sie am 10. September 2021.
Die größte bekannte Megaprimzahl ist 2^136279841 − 1 mit 41.024.320 Dezimalstellen. Sie wurde 2024 von Luke Durant entdeckt und wird möglicherweise als 52. Mersenne-Primzahl eingeordnet. Der Artikel nennt für ihre Entdeckung widersprüchlich den 12. Oktober 2024 und den 21. Oktober 2024. Auf den nächsten Plätzen der Liste der größten bewiesenen Primzahlen stehen ebenfalls Mersenne-Primzahlen: 2^82589933 − 1 mit 24.862.048 Stellen, entdeckt am 21. Dezember 2018 von Patrick Laroche, sowie 2^77232917 − 1 mit 23.249.425 Stellen, entdeckt am 3. Januar 2018 von Jonathan Pace.
Nicht alle besonders großen bewiesenen Primzahlen sind Mersenne-Primzahlen. Die sechstgrößte der aufgeführten Zahlen ist 2524190^2097152 + 1, die größte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl. Sie besitzt 13.426.224 Stellen und wurde am 17. Oktober 2025 von Tom Greer entdeckt. Auf den Plätzen neun und zehn stehen verallgemeinerte einzigartige Primzahlen: 516693^2097152 − 516693^1048576 + 1 mit 11.981.518 Stellen sowie 465859^2097152 − 465859^1048576 + 1 mit 11.887.192 Stellen. Beide wurden 2023 von Ryan Propper und Serge Batalov entdeckt. Insgesamt sind die meisten der zehn größten im Artikel aufgeführten bewiesenen Primzahlen Mersenne-Primzahlen; alle zehn sind Megaprimzahlen. Der Stand dieser Rekordangaben ist der 10. Februar 2026.