Supergoldener Schnitt

Begriff und grundlegende Gleichung

Der Supergoldene Schnitt ist ein mathematisches Teilungsverhältnis zweier Strecken s und t, wobei s die längere und t die kürzere Strecke ist. Er liegt vor, wenn das Quadrat des Verhältnisses der Summe beider Strecken zur längeren Strecke dem Verhältnis der längeren zur kürzeren Strecke entspricht:

((s+t)/s)² = s/t.

Die zugehörige Konstante heißt Supergoldene Zahl ψ und ist definiert durch ψ = (s+t)/s. Da t/s = ψ − 1 gilt, folgt ψ²(ψ − 1) = 1 und damit die kubische Gleichung

ψ³ − ψ² − 1 = 0.

Die Supergoldene Zahl ist die einzige reelle Lösung dieser Gleichung. Insbesondere gilt ψ³ = ψ² + 1. Näherungsweise ist ψ = 1,465571231876768… . Ein exakter Ausdruck lautet:

ψ = (1/6)∛(116 + 12√93) + (1/6)∛(116 − 12√93) + 1/3.

Im englischen Sprachraum setzte sich ψ als Zeichen für die Supergoldene Zahl durch, während ρ für die Plastische Zahl verwendet wird.

Rechtwinklige Dreiecke und Seitenverhältnisse

In einem rechtwinkligen Dreieck kann das Verhältnis der Katheten im Supergoldenen Schnitt stehen. Die vom rechten Winkel ausgehende Höhe teilt dann die Hypotenuse so, dass sich die ganze Hypotenuse zur längeren Teilstrecke ebenfalls im Supergoldenen Schnitt verhält.

Der Grund ist: Bei jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis der durch den Höhenfußpunkt entstehenden Hypotenusenabschnitte das Quadrat des Verhältnisses der angrenzenden Katheten. Für die Supergoldene Zahl sind außerdem Quadrat, Kubus und Kehrwert durch die Gleichung ψ³ − ψ² − 1 = 0 miteinander verknüpft.

Geometrischer Winkel

In einem Dreieck seien die Seiten so angeordnet, dass a/b = ψ und c/a = ψ gelten. Dann ist der Winkel γ gegenüber der Seite c gleich 120° beziehungsweise 2π/3.

Mit dem Kosinussatz ergibt sich:

cos(γ) = (a² + b² − c²)/(2ab) = 1/2(ψ + ψ⁻¹ − ψ³).

Aus ψ³ − ψ² = 1 folgt cos(γ) = −1/2. Daher gilt γ = 120° = 2π/3.

Bezug zur elliptischen Lambdafunktion

Die Supergoldene Zahl erscheint bei einer Gleichung mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art:

K(√(1 − x²))/K(x) = √31.

Eine Lösung lässt sich schreiben als

x = λ*(31) = sin[1/2 arcsin(1/8 ψ⁻¹²)].

Der ergänzende Wert ist

√(1 − x²) = λ*(1/31) = cos[1/2 arcsin(1/8 ψ⁻¹²)].

Damit lassen sich auch die Werte λ*(124) und λ*(4/31) bestimmen:

λ*(124) = tan[1/4 arcsin(1/8 ψ⁻¹²)]²,

λ*(4/31) = tan[π/4 − 1/4 arcsin(1/8 ψ⁻¹²)]².

Narayanas Kühe-Folge

Der indische Mathematiker Narayana Pandita beschäftigte sich im vierzehnten Jahrhundert mit einem Modell zur Entwicklung einer Kuhpopulation. Jede Kuh wird nach drei Lebensjahren fortpflanzungsfähig und bekommt dann jedes Jahr eine neugeborene Kuh. Zu Beginn ist eine Kuh vorhanden.

Die dadurch beschriebene unendliche Folge natürlicher Zahlen heißt Narayanas Kühe-Folge. Sie beginnt mit N₁ = N₂ = N₃ = 1; jedes weitere Glied ist die Summe seines Vorgängers und seines Drittvorgängers:

Nₙ = Nₙ₋₁ + Nₙ₋₃.

Die ersten Zahlen sind 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88, 129, 189, 277, 406, 595, 872, … . Anders als bei der Fibonacci-Folge werden also nicht zwei benachbarte Glieder addiert. Das Verhältnis aufeinanderfolgender Folgenglieder nähert sich der Supergoldenen Zahl an:

lim(n→∞) Nₙ₊₁/Nₙ = ψ.

Binomialkoeffizienten und Matrixdarstellung

Die Narayana-Zahlen können als Summen von Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck dargestellt werden. Man beginnt mit einer Eins am linken Rand und springt jeweils drei Schritte nach oben rechts sowie einen Schritt nach unten rechts. Die Summe der Binomialkoeffizienten auf einer solchen von unten links nach oben rechts verlaufenden Geraden ergibt ein Glied der Folge. Für n ∈ ℕ gilt:

N₃ₙ₋₂ = Σ(k=1 bis n) (3n−2k−1 über 3n−3k),

N₃ₙ₋₁ = Σ(k=1 bis n) (3n−2k über 3n−3k+1),

N₃ₙ = Σ(k=1 bis n) (3n−2k+1 über 3n−3k+2).

Auch die Matrix M = ((1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)) erzeugt die Folge. Ihr einziger reeller Eigenwert ist ψ. Für ganze n gilt:

Mⁿ = ((Nₙ₊₁,Nₙ,Nₙ₋₁),(Nₙ₋₁,Nₙ₋₂,Nₙ₋₃),(Nₙ,Nₙ₋₁,Nₙ₋₂)).