Strom (Mathematik)

Grundidee und Definition

Ströme sind Objekte der geometrischen Maßtheorie. Sie verallgemeinern Distributionen und damit implizit auch (Unter-)Mannigfaltigkeiten. Ein m-dimensionaler Strom, kurz m-Strom, in \mathbb{R}^n ist ein stetiges lineares Funktional auf \mathcal{D}^m(\mathbb{R}^n):=C_c^\infty(\mathbb{R}^n,\Lambda^m\mathbb{R}^n). Dabei ist \Lambda^m\mathbb{R}^n die Menge der m-linearen alternierenden Formen. \mathcal{D}^m(\mathbb{R}^n) ist also der Raum der m-Formen auf \mathbb{R}^n mit kompaktem Träger. Ein Strom gehört zum topologischen Dualraum \mathcal{D}_m; die Menge der m-dimensionalen Ströme auf einer offenen Menge O wird mit \mathcal{D}_m(O) bezeichnet.

Konvergenz, Träger, Rand und Masse

Eine Folge (T_i)_{i\in\mathbb{N}} konvergiert schwach gegen T, geschrieben T_i\rightharpoonup T, wenn für jede Testform \omega\in\mathcal{D}^m(\mathbb{R}^n) gilt: \lim_{i\to\infty}T_i(\omega)=T(\omega). Der Träger \operatorname{supp}T ist die kleinste abgeschlossene Menge C\subset\mathbb{R}^n, außerhalb derer der Strom verschwindet: T(\omega)=0, sobald \operatorname{supp}\omega\cap C=\emptyset.

Für m\geq1 ist der Rand eines Stromes T durch \partial T(\pi):=T(d\pi) für alle \pi\in\mathcal{D}^{m-1}(\mathbb{R}^n) definiert. Ein Strom heißt geschlossen, falls \partial T=0. Es gelten \partial\circ\partial=0, \operatorname{supp}\partial T\subset\operatorname{supp}T sowie: Aus T_i\rightharpoonup T folgt \partial T_i\rightharpoonup\partial T.

Die Massenverteilung eines Stromes wird durch das reguläre äußere Borel-Maß \|T\| beschrieben. Für offene U\subset\mathbb{R}^n und beliebige A\subset\mathbb{R}^n gilt \|T\|(U):=\sup\{T(\omega):\operatorname{supp}\omega\subset U,\sup_x\|w\|\leq1\},\qquad \|T\|(A):=\inf\{\|T\|(U):A\subset U\}. Die Masse ist \mathbf{M}(T)=\|T\|(\mathbb{R}^n)\in[0,\infty]. Ströme endlicher Masse bilden \mathbf{M}_m(T). Lokal endliche Masse bedeutet, dass \|T\| ein Radon-Maß ist, also auf kompakten Mengen endlich ist; der entsprechende Raum heißt \mathbf{M}_{m,\mathrm{loc}}(T).

Normale Ströme und Sätze im vollen Raum

Für T\in\mathcal{D}_m(\mathbb{R}^n), m\geq1, ist \mathbf{N}(T):=\mathbf{M}(T)+\mathbf{M}(\partial T). T heißt normal, wenn \mathbf{N}(T)<\infty, und lokal-normal, wenn \|T\|+\|\partial T\| ein Radon-Maß ist. Die zugehörigen Vektorräume heißen \mathbf{N}_m(T) beziehungsweise \mathbf{N}_{m,\mathrm{loc}}(T).

Der Konstanzsatz betrifft n-Ströme: Ist U\subset\mathbb{R}^n offen und zusammenhängend, T\in\mathcal{D}_n(\mathbb{R}^n) und \operatorname{supp}\partial T\subset\mathbb{R}^n\setminus U, so gibt es ein c\in\mathbb{R} mit \operatorname{supp}(T-c[U])\cap U=\emptyset. Hierbei ist [U]=[U,e_1\wedge\dots\wedge e_n]. Für \omega=f\,dx^1\wedge\dots\wedge dx^n gilt [U](\omega)=\int\langle e_1\wedge\dots\wedge e_n,\omega\rangle\,dx=\int f\,dx.

Weiter gilt für T\in\mathcal{D}_n(\mathbb{R}^n): T\in\mathbf{N}_{m,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n) genau dann, wenn T=[\mathbb{R}^n]\llcorner u für ein u\in\mathrm{BV}_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n). Dann ist \|\partial T\|=|Du|. \mathrm{BV}_{\mathrm{loc}} bezeichnet Funktionen lokal beschränkter Variation.

Ganzzahlig rektifizierbare und integrale Ströme

Ein lokal ganzzahlig rektifizierbarer m-Strom lässt sich darstellen als T(\omega)=\int_E\langle\tau(x),\omega(x)\rangle i\theta(x)\,d\mathcal{H}^m(x). Dabei ist \mathcal{H}^m das Hausdorff-Maß, E\subset\mathbb{R}^n eine abzählbar \mathcal{H}^m-rektifizierbare und \mathcal{H}^m-messbare Menge, \theta eine lokal \mathcal{H}^m-integrierbare natürliche Funktion auf E, und \tau eine \mathcal{H}^m-messbare \Lambda_m\mathbb{R}^n-wertige Funktion. Für \mathcal{H}^m-fast alle x\in E ist \tau(x) einfach, |\tau(x)|<1, und bezeichnet den approximierten Tangentialraum \mathrm{Tan}^m(E,x)\in G(n,m).

Der Raum dieser lokal ganzzahlig rektifizierbaren Ströme heißt \mathcal{I}_{m,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n). Ein ganzzahlig rektifizierbarer Strom gehört zu \mathcal{I}_m(\mathbb{R}^n):=\mathcal{I}_{m,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)\cap\mathbf{M}_m(\mathbb{R}^n).

Für m\geq1 sind lokal integrierbare Ströme durch \mathbf{I}_{m,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n):=\{T\in\mathcal{I}_{m,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n):\partial T\in\mathcal{I}_{m-1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)\} definiert; für m=0 ist \mathbf{I}_{0,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n):=\mathcal{I}_{0,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n). Integralströme sind die Elemente von \mathbf{I}_m(\mathbb{R}^n):=\mathbf{I}_{m,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n)\cap\mathbf{N}_m(\mathbb{R}^n). \mathbf{I}_{m.c}(\mathbb{R}^n) enthält genau die Integralströme mit kompaktem Träger.

Minimierung

Ein Strom T\in\mathcal{I}_{m,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^n) heißt minimierbar, wenn für jede kompakte Menge K\subset\mathbb{R}^n und jeden lokal ganzzahlig rektifizierbaren Strom T' mit kompaktem Träger und \partial T'=\partial(T\llcorner K) gilt: \mathbf{M}(T\llcorner K)\leq\mathbf{M}(T'). Damit hat die Einschränkung von T auf K unter allen Vergleichsströmen mit demselben Rand keine größere Masse.