Statistische Versuchsplanung

Kernidee und Zweck

Die statistische Versuchsplanung, kurz SVP, englisch design of experiments (DoE), umfasst statistische Verfahren, die vor Versuchsbeginn eingesetzt werden sollten. Ziel ist es, mit möglichst wenigen Versuchen den Wirkzusammenhang zwischen Einflussfaktoren und Zielgrößen möglichst genau zu bestimmen. Einflussfaktoren sind unabhängige Variablen, also Größen, die im Versuch verändert oder betrachtet werden. Zielgrößen sind abhängige Variablen, also die gemessenen Ergebnisse.

SVP ist wichtig, weil Versuche Ressourcen benötigen, zum Beispiel Personal, Zeit und Geräte. Der Versuchsverantwortliche muss daher zwischen Genauigkeit und Zuverlässigkeit der erwarteten Ergebnisse einerseits und dem nötigen Aufwand andererseits abwägen. Der Begriff „Versuch“ umfasst dabei nicht nur materielle Experimente, sondern auch Rechnersimulationen.

Ein wichtiger Bestandteil ist die Bestimmung des Versuchsumfanges. Dabei wird festgelegt, wie viele Einzelversuche nötig sind, um bestimmte Genauigkeitsvorgaben einzuhalten. Dazu gehören etwa die Risiken statistischer Tests und die minimal interessierende Mindestdifferenz vom Nullhypothesenwert.

Wichtige Verfahren

Zur statistischen Versuchsplanung gehören mehrere zentrale Aufgaben und Methoden. Dazu zählt die Bestimmung des minimal erforderlichen Versuchsumfanges zur Einhaltung von Genauigkeitsvorgaben, beschrieben über die Trennschärfe eines Tests.

Außerdem werden Versuchspunkte im Faktorraum angeordnet. Der Faktorraum ist der Bereich aller möglichen Einstellungen der Einflussfaktoren. Die Anordnung kann nach Optimalitätskriterien erfolgen, zum Beispiel mit I-, D-, A- oder G-optimalen Versuchsplänen.

Ein weiterer Bestandteil ist der Umgang mit Störgrößen. Störgrößen sind Einflüsse, die das Ergebnis verändern können, aber nicht im Mittelpunkt der Untersuchung stehen. Methoden dafür sind Blöcke, Randomisierung und lateinische Quadrate. Bei der Randomisierung wird die Reihenfolge der Versuche zufällig festgelegt. Blöcke fassen Versuche so zusammen, dass störende Unterschiede kontrolliert werden können.

Zur SVP gehören auch faktorielle Pläne, besonders fraktionierte faktorielle Pläne. Bei faktoriellen Plänen werden mehrere Faktoren gleichzeitig verändert. Bei der sequentiellen Versuchsplanung und Auswertung, auch Sequentialanalyse genannt, wechseln Datenerfassung und Auswertung einander ab, bis eine vorgegebene Genauigkeit erreicht wird.

Nutzen gegenüber einfachen Vorgehensweisen

Die Vorgehensweise, immer nur einen Faktor nach dem anderen zu ändern, wird „one factor at a time“ genannt. Eine andere einfache Methode ist „trial and error“, also Versuch und Irrtum. Laut Artikel führen diese Vorgehensweisen nur zufällig zur Entdeckung des globalen Optimums. Außerdem werden Wechselwirkungen zwischen Einflussfaktoren nicht erkannt.

Wechselwirkungen bedeuten, dass die Wirkung eines Faktors davon abhängt, wie ein anderer Faktor eingestellt ist. Gerade solche Zusammenhänge sind für Experimente oft entscheidend.

Die statistische Versuchsplanung ist dagegen eine systematische Methodik zur Planung und statistischen Auswertung von Versuchen. Mit geringem Aufwand wird der funktionale Zusammenhang zwischen Einflussgrößen und Zielgrößen mathematisch berechnet. Vor der Durchführung der Versuche sind die benötigten Ressourcen, zum Beispiel Personal, Zeit und Kosten, bekannt. Auch die Irrtumswahrscheinlichkeit der Ergebnisse ist quantifizierbar.

Arten von Versuchsplänen

Ein Versuchsplan ist eine Liste von Experimenten, die durchgeführt werden sollen. Anders als bei der älteren Vorgehensweise, bei der in einer Versuchsreihe nur ein Faktor variiert wird, werden in faktoriellen Anlagen mehrere Faktoren gleichzeitig verändert.

Versuchspläne berücksichtigen mehrere Punkte: die Anzahl der zu untersuchenden Faktoren, mindestens 2; die Art der Faktoren, also nominal beziehungsweise qualitativ oder quantitativ; bestehende Informationen; sowie die gewünschte Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Aussagen.

Klassische Pläne besitzen häufig eine regelmäßige geometrische Form. Vollständige Versuchspläne und Teilfaktorpläne weisen eine (Hyper)Würfelstruktur auf. Mischungspläne besitzen die Form eines Simplex. Klassische Wirkungsflächenpläne erweitern die (Hyper)Würfelstruktur um weitere Versuchspunkte. Davon unterscheiden sich optimale Versuchspläne, die durch eine irreguläre geometrische Form gekennzeichnet sind.

Screening-Pläne dienen dazu, mit relativ wenigen Versuchen den Einfluss vieler Faktoren gleichzeitig zu untersuchen. So soll erkannt werden, welche Faktoren inferenzstatistisch signifikant sind, also die Ausgangsvariablen verändern. Wirkungsflächenpläne untersuchen den Zusammenhang zwischen wenigen wichtigen Faktoren und den Zielgrößen genauer, um optimale Einstellungen der Faktoren zu ermitteln.

Zu den Versuchsplänen gehören außerdem Anlagen zur Ausschaltung von Störgrößen wie Blockanlagen und Lateinische Quadrate, sequentielle Versuchspläne und faktorielle Anlagen. Ein im Artikel gezeigtes Beispiel ist ein 2^4-Versuchsplan für bis zu vier Einflussgrößen x1, x2, x3 und x4 mit 16 Versuchen, bei denen die Faktoren jeweils mit den Stufen „−“ und „+“ kombiniert werden.

Historische Entwicklung

Die Anfänge der statistischen Versuchsplanung reichen bis ins 19. Jahrhundert zurück. Genannt werden Arbeiten von Joseph Gergonne zu optimalen Versuchsplänen und polynomialer Regression sowie eine Veröffentlichung von Charles Sanders Peirce zu randomisierten Experimenten.

Der Grundstein der modernen statistischen Versuchsplanung wurde in den 1920er Jahren von Ronald Aylmer Fisher am heutigen Agrarforschungsinstitut Rothamsted Research im Vereinigten Königreich gelegt. Fisher führte grundlegende Vorgehensweisen wie Wiederholungen, zufällige Reihenfolgen, Blockbildung und Vermengungen ein. Zur Auswertung der Versuchsergebnisse entwickelte er die Varianzanalyse. 1935 veröffentlichte er das erste Buch mit dem Titel The design of experiments zum Thema statistische Versuchsplanung.

1951 ergänzten George E. P. Box und K. B. Wilson die faktoriellen Versuchspläne durch Methoden für Wirkungsflächenpläne, die besser zu industriellen Experimenten passten. J. Kiefer stellte 1959 einen formalen Ansatz zur Auswahl eines Versuchsplans vor, der auf objektiven Optimalitätskriterien basiert. Mit Optimierungsansätzen erweiterte sich die Anwendung auf die Verfahrensoptimierung in der chemischen Industrie.

In den 1960er und 1970er Jahren wuchs das Interesse an der Versuchsplanung durch Kostendruck und Wettbewerb, besonders in der Automobilindustrie. Die Taguchi-Methode, deren Ziel robuste Prozesse waren, wurde sehr beliebt. Zugleich entstand eine Kontroverse über diese Methodik, weil die experimentelle Vorgehensweise deutliche Mängel aufweist. Heute hat die statistische Versuchsplanung ein breites Anwendungsspektrum in Wissenschaft und Technik.

Software und Beispiele

Für statistische Versuchsplanung gibt es nicht-kommerzielle und kommerzielle Software. Sie unterscheiden sich besonders im Funktionsumfang, in der Flexibilität und in der Benutzerfreundlichkeit.

Zu den nicht-kommerziellen Lösungen gehört die Programmiersprache R. Dort können Zusatzpakete wie OPDOE verwendet werden; außerdem ist die Nutzung der grafischen Oberfläche RCommander mit DOE-Plugin möglich. Auch Python bietet mit pyDOE und Julia mit ExperimentalDesign.jl Pakete zur statistischen Versuchsplanung.

Als kommerzielle Programme nennt der Artikel Design-Expert, Modde, STAVEX, Cornerstone, JMP, Minitab, Desice, STATISTICA, Visual-XSel, Fusion QbD, GlobalOptimize und Statgraphics.

Als Beispiele werden Nelder-Kreise und Blockanlagen genannt. Blockanlagen sind zugleich ein Beispiel für den Umgang mit Störgrößen, weil sie helfen, störende Einflüsse in der Versuchsanordnung zu kontrollieren.