Sektorieller Operator

Begriff und Bedeutung

Ein sektorieller Operator ist in der Operatortheorie ein linearer Operator auf einem Banach-Raum, dessen Spektrum in einem Sektor der komplexen Ebene liegt und dessen Resolvente außerhalb jedes größeren Sektors gleichmäßig kontrolliert wird. Der Operator muss nicht beschränkt sein. Sektorielle Operatoren werden unter anderem in der Theorie elliptischer und parabolischer partieller Differentialgleichungen verwendet.

Sektoren in der komplexen Ebene

Sei (X,\|\cdot\|) ein Banach-Raum und A ein linearer, nicht notwendig beschränkter Operator auf X. Sein Spektrum wird mit \sigma(A) bezeichnet.

Für 0<\omega\leq\pi ist der offene Sektor definiert durch \Sigma_\omega:=\{z\in\mathbb C\setminus\{0\}:|\operatorname{arg}z|<\omega\}. Für \omega=0 setzt man speziell \Sigma_0:=(0,\infty). Ist \omega\neq0, so ist \Sigma_\omega offen, symmetrisch bezüglich der positiven reellen Achse und besitzt den Öffnungswinkel 2\omega.

Definition eines sektoriellen Operators

Für einen festen Winkel \omega\in[0,\pi) heißt A sektoriell mit Winkel \omega, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• Das Spektrum liegt im abgeschlossenen Sektor: \sigma(A)\subset\overline{\Sigma_\omega}.
• Für jeden größeren Winkel \psi\in(\omega,\pi) gilt \sup_{\lambda\in\mathbb C\setminus\overline{\Sigma_\psi}}|\lambda|\,\|(\lambda-A)^{-1}\|<\infty.

Dabei ist (\lambda-A)^{-1} die Resolvente des Operators. Die zweite Bedingung besagt, dass das Produkt aus |\lambda| und der Norm der Resolvente außerhalb jedes größeren abgeschlossenen Sektors gleichmäßig beschränkt bleibt. Die Menge aller sektoriellen Operatoren zum Winkel \omega wird mit \operatorname{Sect}(\omega) bezeichnet.