Satz von Dupin – einfach erklärt

Kernaussage und Grundbegriffe

Der Satz von Dupin gehört zur Differentialgeometrie. Er besagt: Die Flächen eines dreifachen Orthogonalsystems schneiden sich paarweise in Krümmungslinien.

Ein dreifaches Orthogonalsystem besteht aus drei Scharen von Flächen. Jede Fläche einer Schar schneidet jede Fläche der anderen Scharen orthogonal, also im rechten Winkel. Eine Krümmungslinie einer Fläche ist eine Kurve auf dieser Fläche, deren Richtung in jedem Punkt eine Hauptkrümmungsrichtung ist, also eine Richtung maximaler oder minimaler Normalkrümmung.

Ein sehr einfaches Orthogonalsystem bilden die Koordinatenebenen und alle zu ihnen parallelen Ebenen. Für den Satz ist dieses Beispiel aber wenig interessant, weil eine Ebene keine Krümmungslinien besitzt: In jedem Punkt ist jede Normalkrümmung Null.

Ein anschauliches Beispiel mit gekrümmten Flächen besteht aus drei Scharen: allen Kreiszylindern mit der z-Achse als Achse, allen Ebenen, die die z-Achse enthalten, und allen horizontalen Ebenen. Auf einem senkrechten Kreiszylinder sind die horizontalen Kreise und die Geraden längs des Zylinders, die Erzeugenden, die Krümmungslinien. Entlang eines horizontalen Kreises hat der Zylinder seine maximale Krümmung; entlang einer Erzeugenden ist die Krümmung minimal, nämlich Null.

Nutzen des Satzes

Der Satz von Dupin ist nützlich, weil man Krümmungslinien einer Fläche durch geeignete Schnittkurven finden kann. Wenn eine Fläche in ein dreifaches Orthogonalsystem eingebettet ist, entstehen ihre Krümmungslinien als Schnitte mit den beiden anderen passenden Flächenscharen.

Dadurch muss man nicht zuerst aufwendig die Hauptkrümmungen berechnen. Man beschreibt stattdessen die umgebenden Flächen des Orthogonalsystems und liest daraus die Krümmungslinien ab. Die Einbettung einer Fläche in ein Orthogonalsystem ist dabei nicht eindeutig; dieselbe Fläche kann also in verschiedenen passenden Systemen betrachtet werden.

Kegel, Torus und Rotationsflächen

Für einen gegebenen Kegel kann man ein Orthogonalsystem aus drei Flächenscharen bilden. Die erste Schar entsteht durch Verschieben des gegebenen Kegels in Richtung seiner Achse und enthält den Kegel selbst. Die zweite Schar besteht aus Kegeln mit Spitzen auf der gegebenen Kegelachse, deren Erzeugende auf den Erzeugenden des ursprünglichen Kegels senkrecht stehen. Die dritte Schar besteht aus Ebenen durch die Kegelachse. Die zweite Kegelschar schneidet aus dem ursprünglichen Kegel Kreise aus; die Ebenen schneiden die Erzeugenden aus. Diese Kreise und Erzeugenden sind also die Krümmungslinien.

Eine alternative Beschreibung für den Kegel benutzt Kugelkoordinaten (r, φ, θ) mit S = M = Nullpunkt. Die drei Scharen sind dann Kegel mit Spitze S und Achse des gegebenen Kegels, Kugeln mit Mittelpunkt M = S und Ebenen durch die Kegelachse.

Beim Torus besteht ein passendes Orthogonalsystem aus Tori mit demselben Leitkreis, aus Kegeln durch den Leitkreis mit Spitze auf der Torusachse und aus Ebenen durch die Torusachse. Die Kegel schneiden die horizontalen Kreise aus, die Ebenen die senkrechten Kreise. Die Krümmungslinien eines Torus bilden daher ein Netz aus sich orthogonal schneidenden Kreisen.

Für eine Rotationsfläche entsteht die Fläche durch Rotation eines Meridians m0 um die Rotationsachse. Ein Orthogonalsystem erhält man aus Parallelflächen zur gegebenen Rotationsfläche, Kegeln mit Spitzen auf der Rotationsachse, deren Erzeugenden auf der Rotationsfläche senkrecht stehen, und Ebenen durch die Rotationsachse. Daraus folgt: Die Krümmungslinien einer Rotationsfläche sind die Meridiane und die Kreise senkrecht zur Rotationsachse.

Konfokale Quadriken

Konfokale Quadriken bilden ein dreifaches Orthogonalsystem. Nach dem Satz von Dupin lassen sich auf jeder beteiligten Quadrik die Krümmungslinien als Schnittkurven mit den anderen Quadriken auffassen. Das erleichtert ihre Darstellung und Untersuchung.

Konfokale Quadriken sind immer 3-achsig, also keine Rotationsflächen. Ihre Krümmungslinien sind deshalb Kurven 4. Grades. Bei Rotationsquadriken dagegen sind die Krümmungslinien Kegelschnitte, wie bei Rotationsflächen beschrieben.

Beim Ellipsoid im Artikel sind die Halbachsen a = 1, b = 0,8, c = 0,6. Seine Krümmungslinien sind Schnitte mit ein- und zweischaligen Hyperboloiden; rote Punkte markieren Nabelpunkte. Bei einem Rotationsellipsoid wären die Krümmungslinien Kreise und Ellipsen.

Beim einschaligen Hyperboloid im Artikel sind die Halbachsen a = 0,67, b = 0,3, c = 0,44. Seine Krümmungslinien sind Schnitte mit Ellipsoiden und zweischaligen Hyperboloiden.

Dupinsche Zykliden

Eine Dupinsche Zyklide und ihre Parallelflächen werden durch ein Paar von Fokalkegelschnitten bestimmt. Im Artikel wird eine Ringzyklide mit zwei Fokalkegelschnitten beschrieben: einer Ellipse und einer Hyperbel.

Man kann die Zyklide als Teil eines Orthogonalsystems auffassen. Die erste Schar besteht aus Parallelflächen der Zyklide. Die zweite Schar besteht aus senkrechten Kreiskegeln durch die Ellipse; ihre Spitzen liegen auf der Hyperbel. Die dritte Schar besteht aus senkrechten Kreiskegeln durch die Hyperbel; ihre Spitzen liegen auf der Ellipse.

Die beiden Kreiskegel durch einen Punkt P schneiden sich orthogonal in der Flächennormale. Jeder dieser Kegel schneidet die Zyklide in einem Kreis. Die besondere Eigenschaft lautet: Die Krümmungslinien einer Dupinschen Zyklide sind Kreise.

Beweisidee

Für den Beweis betrachtet man den Teil des R3, in dem durch jeden Punkt je eine Fläche aus jeder der drei Flächenscharen geht. Sind die Scharparameter u, v, w, kann man sie als neue Koordinaten auffassen. Ein Punkt wird dann beschrieben durch x = x(u,v,w), y = y(u,v,w), z = z(u,v,w), kurz durch den Vektor x⃗ = x⃗(u,v,w).

Im Zylinderbeispiel entsprechen diese Koordinaten den Zylinderkoordinaten: r beschreibt den Radius des Zylinders, φ den Winkel der senkrechten Ebene mit der x-Achse und ζ die Höhe der horizontalen Ebene.

Damit sich in einem Punkt x⃗(u,v,w) die drei Flächen senkrecht schneiden, müssen die drei Flächennormalen x⃗u × x⃗v, x⃗v × x⃗w und x⃗w × x⃗u paarweise orthogonal sein. Das ist genau dann der Fall, wenn die Tangentenvektoren x⃗u, x⃗v und x⃗w paarweise orthogonal sind. Daher gilt x⃗u · x⃗v = 0, x⃗v · x⃗w = 0 und x⃗w · x⃗u = 0.

Leitet man diese Gleichungen jeweils nach dem fehlenden Parameter ab und löst das entstehende lineare Gleichungssystem, erhält man x⃗uv · x⃗w = 0, x⃗vw · x⃗u = 0 und x⃗uw · x⃗v = 0. Daraus folgt unter anderem det(x⃗uv, x⃗u, x⃗v) = 0. Für die Fläche x⃗ = x⃗(u,v,w0) ergeben sich für die Parameterlinien F = 0 und M = 0, wobei F ein Koeffizient der ersten Fundamentalform und M ein Koeffizient der zweiten Fundamentalform ist. Deshalb sind die Parameterlinien Krümmungslinien. Dasselbe gilt entsprechend für die anderen Flächen des Orthogonalsystems.