Packungsdichte (Kristallographie)

Definition und Bedeutung

Die Packungsdichte, auch Packungsverhältnis oder Raumerfüllung genannt, ist in der Kristallographie das Verhältnis des Volumens der Atome innerhalb einer Elementarzelle zum Gesamtvolumen dieser Elementarzelle. Sie beschreibt damit, welchen Anteil des Zellvolumens die Atome ausfüllen.

Zur Berechnung werden Atome als harte, inkompressible Kugeln mit maximaler und identischer Größe betrachtet. Der Zahlenwert der Packungsdichte ist charakteristisch für die jeweilige Packungsart. Er hängt nicht davon ab, wie die Elementarzelle gewählt wird: Kugeln aus zwei oder mehr Elementarzellen nehmen insgesamt denselben Raumanteil ein wie die Kugeln einer einzelnen Elementarzelle.

Aus der Raumerfüllung lassen sich Eigenschaften der Gitterstruktur ableiten, zum Beispiel Aussagen über die Stabilität oder die Dichte eines Kristalls. Die meisten Elemente kristallisieren in den hier behandelten Packungstypen. Der Begriff wird außerdem in der Mathematik bei räumlichen Optimierungsproblemen verwendet, etwa bei Kugelpackungen, die für die Theorie der Datenkompression bedeutsam sind.

Allgemeine Berechnung

Allgemein wird die Packungsdichte P mit folgender Formel berechnet:

P = (N · VAtom) / VElementarzelle

Dabei ist N die Anzahl der Atome in der Elementarzelle. N ergibt sich aus der Summe der Anteile aller Atome, die zu dieser Zelle gehören.

Das Volumen eines kugelförmig gedachten Atoms mit Radius r beträgt:

VAtom = VKugel(r) = (4/3)πr³

Bei einer kubischen Elementarzelle mit dem Gitterparameter a, also der Kantenlänge der Zelle, gilt:

VElementarzelle = a³

Für kubische Packungen folgt daher:

P = [N · (4/3)πr³] / a³

Bei nur einer Atomsorte und gleich großen Atomen besitzen die kubisch flächenzentrierte und die hexagonal dichteste Kugelpackung die größtmögliche Raumerfüllung. Sie beträgt ungefähr 74 %.

Kubisch primitive Packung

Bei der kubisch primitiven Packung (scp, simple cubic packing) sitzen Kugeln an den 8 Ecken der kubischen Elementarzelle. Jede Eckkugel gehört mit 1/8 ihres Volumens zu einer Zelle. Deshalb enthält eine Elementarzelle insgesamt 8 · 1/8 = 1 Kugel. Da die Alpha-Modifikation von Polonium in diesem Typ kristallisiert, wird die Struktur auch α-Polonium-Typ genannt.

Die Kugeln berühren sich lückenlos. Jede Kugel berührt 6 andere Kugeln direkt; die Koordinationszahl, also die Zahl der unmittelbar benachbarten Kugeln, ist 6. Alle Schichten dieser Packung sind identisch.

Der Gitterparameter a ist doppelt so groß wie der Kugelradius r:

r = a/2

Damit ergibt sich:

P = [1 · (4/3)πr³] / a³ = π/6 ≈ 0,5236

Die Packungsdichte beträgt ungefähr 52,36 %.

Kubisch flächenzentrierte und raumzentrierte Packung

Bei der kubisch flächenzentrierten Packung (fcc, face centered cubic) befinden sich Kugeln an den 8 Ecken und zusätzlich in den Mittelpunkten der 6 Flächen. Die Eckkugeln tragen jeweils 1/8, die Flächenkugeln jeweils 1/2 ihres Volumens zur Elementarzelle bei. Somit gilt:

8 · 1/8 + 6 · 1/2 = 4 Kugeln pro Elementarzelle.

Da Kupfer in diesem Typ kristallisiert, wird die Struktur auch Kupfer-Typ genannt. Die Kugeln berühren sich entlang der Diagonalen der Elementarzelle. Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich für die Diagonale der Würfelfläche c = √2a = 4r. Daher gilt:

r = (√2a)/4

Die Packungsdichte ist:

P = (√2π)/6 ≈ 0,7405

Sie beträgt ungefähr 74,05 %.

Bei der kubisch raumzentrierten oder innenzentrierten Packung (bcc, body centered cubic) sitzen ebenfalls 8 Kugeln an den Ecken. Zusätzlich befindet sich eine vollständig eingeschlossene Kugel im Zentrum der Elementarzelle. Die Eckkugeln tragen zusammen 8 · 1/8 = 1 Kugel bei; mit der mittleren Kugel enthält die Zelle also 2 Kugeln. Da Wolfram in diesem Typ kristallisiert, heißt er auch Wolfram-Typ.

Die Kugeln berühren sich entlang der Raumdiagonale. Für die Flächendiagonale gilt b = √2a. Durch eine weitere Anwendung des Satzes des Pythagoras erhält man für die Raumdiagonale d = √3a. Da diese vier Kugelradien lang ist, gilt:

4r = √3a und damit r = (√3a)/4.

Die Packungsdichte lautet:

P = (√3π)/8 ≈ 0,6802

Sie beträgt ungefähr 68 %.

Anwendung: Dichte von Kupfer

Mit der Packungsart lassen sich unter anderem die Dichte und die molare Masse eines Kristalls berechnen. Da die Dichte eine intensive Größe ist, hängt sie nicht von der Größe des betrachteten Systems ab. Die Dichte eines Kubikmeters Metall entspricht daher der Dichte der Elementarzelle seiner Struktur.

Allgemein gilt:

ρ = m/V

Mit der Molmasse M, der Atomanzahl N beziehungsweise n und der Avogadrozahl NA kann die Formel geschrieben werden als:

ρ = (M · n)/V = (M · N)/(NA · V)

Für Kupfer beträgt die Molmasse 63,456 g/mol. Kupfer kristallisiert in einem kubisch dicht gepackten, also kubisch flächenzentrierten Gitter. Deshalb befinden sich 4 Atome in einer Elementarzelle. Der Radius eines Kupferatoms beträgt 1,28 Å = 1,28 · 10⁻¹⁰ m. Für die fcc-Struktur berechnet sich der Gitterparameter zu:

a = 4r/√2 = [4 · 1,28 · 10⁻¹⁰ m]/√2 = 3,62 · 10⁻¹⁰ m.

Mit der Avogadrozahl 6,022140 · 10²³ 1/mol ergibt sich:

ρ = [63,456 g/mol · 4] / [6,022140 · 10²³ 1/mol · (3,62 · 10⁻¹⁰ m)³]

Die Dichte von Kupfer beträgt somit 8 897 574,9 g/m³, beziehungsweise ungefähr 8,9 g/cm³.