Normale Varietät

Definition und Bedeutung

Eine normale Varietät ist eine algebraische Varietät mit nur milden Singularitäten. Allgemeiner kann auch ein Schema normal sein.

Eine algebraische Varietät X beziehungsweise ein Schema ist genau dann normal, wenn der lokale Ring 𝒪ₓ(X) jedes Punktes x ∈ X in seinem Quotientenkörper ganzabgeschlossen ist. „Ganzabgeschlossen“ bedeutet, dass jedes Element des Quotientenkörpers, das eine normierte polynomiale Gleichung mit Koeffizienten aus dem Ring erfüllt, bereits im Ring liegt. Ringe mit dieser Eigenschaft werden ebenfalls normal genannt.

Kriterien und Beispiel

Für eine algebraische Varietät X sind folgende Aussagen äquivalent:

• Der Ring der regulären Funktionen 𝒪(X) ist in seinem Quotientenkörper ganzabgeschlossen.
• Jede endliche birationale Abbildung f: Y → X von einer algebraischen Varietät Y auf X ist ein Isomorphismus.

Ein Beispiel für eine nicht normale Kurve ist x³ − y² = 0. Die Abbildung t ↦ (t², t³) von A¹ auf diese Kurve ist ein endlicher birationaler Morphismus, aber kein Isomorphismus. Damit ist die Kurve nicht normal.

Zusammenhang mit Singularitäten

Jedes reguläre Schema, also jedes Schema ohne Singularitäten, ist normal. Die Umkehrung gilt nicht allgemein. Eine normale Varietät kann Singularitäten besitzen, diese liegen jedoch nur in Kodimension mindestens 2. Bei einer algebraischen Kurve haben Singularitäten dagegen Kodimension 1; deshalb sind die Singularitäten einer algebraischen Kurve nicht normal.

Für eine normale Varietät über ℂ ist außerdem der Link jedes Punktes in der klassischen Topologie zusammenhängend. Das bedeutet: Zu jedem Punkt x gibt es beliebig kleine Umgebungen U, sodass U \ {x} zusammenhängend ist.