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Newtonpolygon
In der Mathematik ist das Newtonpolygon ein Werkzeug zur Untersuchung von Polynomen. Definition. Bearbeiten. Das Newtonpolygon von P ( x …
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Grunddefinition
Das Newtonpolygon ist ein Werkzeug zur Untersuchung von Polynomen. Für ein Polynom in zwei Variablen
P(x,y)=\sum_{i,j}a_{ij}x^iy^j
ist es die konvexe Hülle aller Punkte (i,j)\in\mathbb{R}^2, deren Koeffizient a_{ij} nicht null ist. Die konvexe Hülle ist dabei die kleinste konvexe Punktmenge, die alle diese Punkte enthält. Die Exponenten der tatsächlich vorkommenden Terme bestimmen also die geometrische Form des Newtonpolygons; die Werte der Koeffizienten sind für seine Definition nicht entscheidend.
Beispiel: Für
P(x,y)=3x^2y^3-xy^2+2x^2y^2-x^3y
gehören die Punkte (2,3), (1,2) und (3,1) zur konvexen Hülle. Das Newtonpolygon ist daher die konvexe Hülle dieser drei Punkte. Der Punkt (2,2), der zum Term 2x^2y^2 gehört, liegt im Inneren des Polygons.
Für Polynome in mehr als zwei Variablen wird analog ein Newtonpolytop definiert. Die Definition kann außerdem auf Polynome mit Koeffizienten in einem bewerteten Körper verallgemeinert werden.
Anwendungen
Newtonpolygone werden in mehreren mathematischen Gebieten eingesetzt. In der Analysis dienen sie zur Untersuchung und Lösung nicht-linearer Gleichungssysteme. In der Zahlentheorie werden sie bei der Faktorisierung von Polynomen über lokalen Körpern verwendet. In der Topologie finden sie Anwendung bei der Konstruktion von Knoteninvarianten.