Kaprekar-Konstante

Grundidee und Berechnung

Eine Kaprekar-Konstante ist ein spezieller Fixpunkt der Kaprekar-Routine in der Zahlentheorie. Ein Fixpunkt ist eine Zahl, die durch die Routine wieder in sich selbst übergeht. Münden alle zulässigen Startzahlen einer festen Stellenanzahl nach endlich vielen Wiederholungen in dieselbe Zahl, ist diese Zahl ein globaler Attraktor und wird im engeren Sinn als universelle Kaprekar-Konstante bezeichnet. Zulässig sind dabei keine Repdigits, also Zahlen, deren Ziffern sämtlich gleich sind.

Die Kaprekar-Routine funktioniert so:

• Die Ziffern einer Zahl werden absteigend zur größtmöglichen Zahl a und aufsteigend zur kleinstmöglichen Zahl b geordnet. Führende Nullen werden bei b mitgeschrieben.
• Man berechnet die Differenz d = a − b.
• Mit d wird das Verfahren wiederholt.
• Schließlich entsteht entweder ein Zyklus. Hat dieser Zyklus die Länge eins, wird die stets wiederholte Zahl x Kaprekar-Konstante genannt.

Im Dezimalsystem gibt es im engeren Sinn echte universelle Kaprekar-Konstanten nur für drei- und vierstellige Zahlen: 495 und 6174. Bei anderen Stellenzahlen treten mehrere Fixpunkte, periodische Zyklen oder eine Kombination aus beidem auf. D. R. Kaprekar (1905–1986) beschrieb diese Eigenschaft 1949 zuerst für vierstellige Zahlen. Für vierstellige Dezimalzahlen mit mindestens zwei verschiedenen Ziffern stellt sich 6174 spätestens nach sieben Wiederholungen ein.

Die Konstanten 495 und 6174

Bei dreistelligen Zahlen führt die Routine stets zu 495. Beispiele:

• 734: 743 − 347 = 396, 963 − 369 = 594, 954 − 459 = 495.
• 29 wird als 029 behandelt: 920 − 029 = 891, 981 − 189 = 792, 972 − 279 = 693, 963 − 369 = 594, 954 − 459 = 495.

Bei vierstelligen Zahlen beträgt die Kaprekar-Konstante stets 6174. Betrachtet werden die Zahlen von 1000 bis 9998; vierstellige Zahlen mit vier identischen Ziffern sind ausgeschlossen. Das ergibt 8991 mögliche Ausgangszahlen. Davon ist eine bereits 6174. Mit einem Iterationsschritt erreichen 356 Zahlen den Fixpunkt, mit zwei Schritten 519, mit drei 2124, mit vier 1124, mit fünf 1379, mit sechs 1508 und mit sieben 1980.

Beispiel 1: 4783 führt über 8743 − 3478 = 5265, 6552 − 2556 = 3996, 9963 − 3699 = 6264, 6642 − 2466 = 4176 und 7641 − 1467 = 6174 zum Fixpunkt.

Beispiel 2: Die einstellige Zahl 1 wird als 0001 behandelt und führt über 1000 − 0001 = 0999, 9990 − 0999 = 8991, 9981 − 1899 = 8082, 8820 − 0288 = 8532 und 8532 − 2358 = 6174 zum Ziel.

Andere Stellenzahlen und Zyklen

Repdigits führen bei Anwendung der Routine für n Stellen immer zu 0. So gilt bei 1111 als vierstelliger Zahl 1111 − 1111 = 0000. Wird 1111 dagegen als fünfstellige Zahl behandelt, entsteht nach mehreren Schritten der Zyklus 71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973.

Für ein-, fünf- und siebenstellige Dezimalzahlen wird 0 als Kaprekar-Konstante angegeben. Zugleich nennt der Artikel für zwei-, fünf- und siebenstellige Zahlen keine Kaprekar-Konstanten, weil die zulässigen Zahlen dort in Zyklen laufen. Diese Aussagen unterscheiden zwischen dem Sonderfall 0 beziehungsweise Repdigits und einem universellen Fixpunkt für alle zulässigen Startzahlen.

Die wichtigsten Ergebnisse für weitere Stellenzahlen sind:

• Zweistellige Zahlen bilden einen Zyklus, zum Beispiel 02/20 → 18/81 → 36/63 → 27/72 → 45/54 → 09/90 → 81.
• Fünfstellige Zahlen gelangen in einen von drei Zyklen: 71973 → 83952 → 74943 → 62964 → 71973; 75933 → 63954 → 61974 → 82962 → 75933; oder 59994 → 53955 → 59994.
• Sechsstellige Zahlen erreichen entweder 549945, 631764 oder den Zyklus 420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876.
• Siebenstellige Zahlen führen zu einem Zyklus der Länge 8: 7509843 → 9529641 → 8719722 → 8649432 → 7519743 → 8429652 → 7619733 → 8439552 → 7509843.
• Achtstellige Zahlen erreichen 63317664 oder 97508421 oder einen Zyklus der Länge 3 beziehungsweise 7.
• Neunstellige Zahlen erreichen 554999445 oder 864197532 oder, häufiger, einen Zyklus der Länge 14.
• Zehnstellige Zahlen führen zu 6333176664, 9753086421 oder 9975084201 beziehungsweise, häufiger, zu einem von fünf Zyklen der Länge 3 oder 7.

Damit zeigen die Beispiele, dass bei mehr als vier Stellen mehrere Fixpunkte und Zyklen nebeneinander bestehen. Die aufgeführten Zahlen sind daher allgemeine Fixpunkte oder Zyklusbestandteile, nicht jeweils ein universeller Attraktor für alle Startzahlen.

Teilbarkeit und weitere Folgen

Die kleinsten im Artikel aufgeführten Kaprekar-Konstanten sind: 0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664, 9753086421, 9975084201, 86431976532, 555499994445, 633331766664, … (Folge A099009 in OEIS).

Ab zweistelligen Dezimalzahlen sind die durch die Kaprekar-Routine gebildeten Differenzen immer Vielfache von 9. Deshalb sind alle generierten Differenzen und alle Kaprekar-Konstanten größer als 0 durch 9 teilbar und können keine Primzahlen sein.

Für vierstellige Zahlen mit Ziffern a, b, c, d und a ≥ b ≥ c ≥ d sowie a > d ergibt sich:

1000a + 100b + 10c + 1d − (1000d + 100c + 10b + 1a) = 999a + 90b − 90c − 999d = 9[111(a − d) + 10(b − c)].

Da jede positive Kaprekar-Konstante durch 9 teilbar ist, ist sie auch durch 3 teilbar. Bildet man fortlaufend die Summe der Kuben ihrer Dezimalziffern, endet die Folge bei 153 in einem Loop, denn 1³ + 5³ + 3³ = 153. Für 6174 verläuft die Folge beispielsweise über 624, 288, 1032, 36, 243, 99, 1458, 702, 351 und schließlich 153.

Umgekehrt können aus jeder n-stelligen Zahl, die nicht durch 9 teilbar ist, mit der Kaprekar-Routine n-stellige Zahlen entstehen, die durch 9 teilbar sind. Aus 4332087661 entstehen beispielsweise acht solche Zahlen: 8643086532, 8633086632, 8633266632, 6433266654, 4332087666, 8533176642, 7533086643 und 8433086652.

Graphische Darstellung und Abgrenzung

Die graphische Darstellung des Artikels ordnet dreistellige Zahlen danach, dass ihre Iterationen bei 495 enden, und vierstellige Zahlen danach, dass sie bei 6174 enden. Sie veranschaulicht damit die beiden universellen Attraktoren des Dezimalsystems.

Kaprekar-Konstanten sind nicht mit Kaprekar-Zahlen zu verwechseln. Der Artikel führt die Kaprekar-Zahl als eigenen Begriff auf, erläutert ihn an dieser Stelle jedoch nicht weiter.