June Huh

Überblick

June Huh, koreanisch 허준이 Heo Jun-i, geboren am 9. Juni 1983 in Kalifornien, ist ein südkoreanisch-amerikanischer Mathematiker und Professor an der Princeton University. Er arbeitet vor allem in der algebraischen Geometrie, der Kombinatorik und an Verbindungen zwischen diesen Gebieten. Besonders wichtig ist seine Übertragung von Ideen der Hodge-Theorie auf kombinatorische Probleme. 2022 erhielt er die Fields-Medaille, eine der bedeutendsten Auszeichnungen in der Mathematik.

Ausbildung und Laufbahn

Huh wurde in Kalifornien geboren, wo seine Eltern studierten, und wuchs ab dem Alter von zwei Jahren in Seoul auf. Sein Vater lehrte Statistik, seine Mutter russische Literatur. Als Jugendlicher interessierte er sich zunächst nicht für Mathematik, sondern wollte Dichter werden. Mit 16 Jahren verließ er die High School für eine zweijährige Auszeit, um Gedichte zu schreiben.

Ab 2002 studierte er an der Seoul National University. 2007 machte er dort den Bachelor-Abschluss in Physik und Astronomie; ursprünglich wollte er Wissenschaftsjournalist werden. Erst danach begann er sich ernsthaft für Mathematik zu interessieren und erwarb 2009 den Master-Abschluss in Mathematik. Eine wichtige Rolle spielte eine Vorlesung von Heisuke Hironaka, einem Fields-Medaillen-Preisträger, der als Gastprofessor in Seoul über aktuelle Forschung zur Singularitätentheorie sprach. Hironaka erkannte Huhs Talent, betreute seine Diplomarbeit und empfahl ihn für ein Graduiertenstudium in den USA.

2009 wurde Huh an der University of Illinois at Urbana-Champaign angenommen. Seit 2010 war er an der University of Michigan, wo er 2014 bei Mircea Mustață promoviert wurde. Seine Dissertation trug den Titel „Rota’s conjecture and positivity of algebraic cycles in permutohedral varieties“. Danach war er Clay Fellow am Clay Mathematics Institute, Veblen Fellow an der Princeton University sowie Mitglied beziehungsweise Gastprofessor am Institute for Advanced Study. 2020 war er Professor an der Stanford University, seit 2021 ist er Professor an der Princeton University. Außerdem war er seit 2015 Gastforscher und seit 2021 Professor am Korea Institute for Advanced Study (KIAS); seit 2022 ist er dort Distinguished Professor. Er ist mit der Mathematikerin Nayoung Kim verheiratet.

Zentrale mathematische Arbeiten

Huh verbindet Kombinatorik, algebraische Geometrie und kombinatorische Geometrie. Die Kombinatorik untersucht endliche Strukturen wie Graphen, Mengen oder Matroide. Die algebraische Geometrie beschreibt geometrische Objekte mit Hilfe algebraischer Gleichungen. Huh nutzte Methoden aus der algebraischen Geometrie, um schwierige Aussagen über kombinatorische Objekte zu beweisen.

Als Student bewies er 2010 die 1968 aufgestellte Vermutung von Ronald C. Read und Hoggar aus der Graphentheorie. Sie betrifft das chromatische Polynom eines Graphen, also ein Polynom, das mit Färbungen eines Graphen zusammenhängt. Die Vermutung besagt, dass die Koeffizienten dieses Polynoms eine unimodale Folge bilden: Die Folgenglieder steigen bis zu einem Maximum an und fallen danach wieder ab. Sogar stärker gilt Log-Konkavität, also die Ungleichung a_{i+1}a_{i-1} ≤ a_i^2.

Zusammen mit Karim Adiprasito und Eric Katz bewies Huh anschließend eine Verallgemeinerung dieser Idee von Graphen auf Matroide: die Rota-Vermutung, auch mit Gian-Carlo Rota und Welsh 1971 verbunden. Ein Matroid ist eine kombinatorische Struktur, die den Begriff der Unabhängigkeit verallgemeinert, etwa aus der linearen Algebra. Die Vermutung sagt, dass die Koeffizienten des chromatischen Polynoms von Matroiden eine log-konkave Folge bilden. Huh und Katz erkannten, dass dahinter Hodge-Theorie aus der algebraischen Geometrie steht, genauer die Hodge-Riemann-Relationen. Für spezielle, realisierbare Matroide konnten sie die Vermutung damit beweisen; mit Adiprasito gelang 2015 der vollständige Beweis. Dabei spielten neben den Hodge-Riemann-Relationen auch der schwere Lefschetz-Satz und die Poincaré-Dualität eine Rolle; zusammen bilden diese Eigenschaften das Kähler-Paket.

Weitere Vermutungen und Methoden

Ein weiteres wichtiges Ergebnis betrifft die Mason-Vermutung von John Mason aus dem Jahr 1972. Sei M ein Matroid mit n Elementen und T_k die Anzahl der unabhängigen Mengen des Matroids mit k Elementen. Die Mason-Vermutung behauptet die Log-Konkavität der T_k, also T_k^2 ≥ T_{k-1} · T_{k+1}. Huh bewies diese Aussage mit Adiprasito und Katz in den Annals of Mathematics 2018. Mit Benjamin Schröter und Botong Wang bewies er sogar eine stärkere Ungleichung: T_k^2 ≥ (1 + 1/k) · T_{k-1} · T_{k+1}. Der Artikel erwähnt, dass diese Ungleichung inzwischen weiter verschärft wurde.

Ab 2016 bewies Huh mit Kollegen außerdem die Dowling-Wilson-Vermutung von Thomas Allan Dowling und Richard M. Wilson aus dem Jahr 1974. Diese gehört zur enumerativen kombinatorischen Geometrie, also zum Zählen geometrischer Strukturen. Sie verallgemeinert den Satz von Erdös und de Bruijn in der Inzidenzgeometrie: Jede endliche Punktmenge E in der projektiven Ebene, die nicht vollständig auf einer Geraden liegt, bestimmt mindestens |E| Geraden. Vereinfacht formuliert sagt die Dowling-Wilson-Vermutung: Ist E eine Teilmenge eines d-dimensionalen Vektorraums R, die den Raum aufspannt, dann gibt es in der partiell geordneten Menge von Unterräumen, die von Teilmengen von E aufgespannt werden, mindestens so viele (d-k)-dimensionale Unterräume wie k-dimensionale Unterräume, für jedes k ≤ d/2.

Huh hebt selbst auch seine Arbeit mit Petter Brändén zur Theorie der Lorentz-Polynome hervor. Diese Theorie zielt ebenfalls darauf, Log-Konkavität bestimmter Folgen reeller Zahlen abzuleiten, kommt aber im Vergleich zu seinen Hodge-theoretischen Ergebnissen mit relativ elementaren Mitteln aus. Lorentz-Polynome sind homogene Polynome in mehreren Variablen, die über partielle Differentiationen mit quadratischen Formen von Lorentz-Signatur zusammenhängen. Lorentz-Signatur bedeutet hier: ein negatives Vorzeichen und sonst positive Vorzeichen, oder umgekehrt. Solche Strukturen führen zu Log-Konkavitätseigenschaften. Der Raum ihrer Koeffizienten steht mit der Geometrie von Matroiden in Verbindung; Beispiele liefern auch Volumen-Polynome konvexer Körper und projektiver Varietäten.

Auszeichnungen

Huh war eingeladener Sprecher auf dem Internationalen Mathematikerkongress 2018 in Rio de Janeiro mit dem Vortrag „Combinatorial applications of the Hodge-Riemann relations“. Er ist Clay Fellow und erhielt den Blavatnik Award. Für 2021 wurde ihm der Ho-Am-Preis zugesprochen.

Am 5. Juli 2022 erhielt er die Fields-Medaille. Die Begründung nannte die „Übertragung der Ideen der Hodge-Theorie auf die Kombinatorik, den Beweis der Dowling-Wilson-Vermutung für geometrische Gitter, den Beweis der Heron-Rota-Welsh-Vermutung für Matroide, die Entwicklung der Theorie der Lorentzschen Polynome und den Beweis der starken Mason-Vermutung.“ Ebenfalls 2022 erhielt Huh ein MacArthur Fellowship.

Wichtige Veröffentlichungen

Die Schriftenliste zeigt die wichtigsten Stationen seiner Forschung. Zu frühen Arbeiten gehören „Milnor numbers of projective hypersurfaces and the chromatic polynomial of graphs“ im Journal of the American Mathematical Society, Band 25, 2012, S. 907–927, sowie die gemeinsame Arbeit mit Eric Katz „Log-concavity of characteristic polynomials and the Bergman fan of matroids“ in Mathematische Annalen, Band 354, 2012, S. 1103–1116.

Für seine Arbeiten zu Matroiden und Hodge-Theorie sind besonders wichtig: „h-vectors of matroids and logarithmic concavity“ in Advances in Mathematics, Band 270, 2015, S. 49–59; mit Karim Adiprasito und Eric Katz „Hodge theory for combinatorial geometries“ in Annals of Mathematics, Band 188, 2018, S. 381–452; und „Combinatorial applications of the Hodge-Riemann relations“ im Proceedings-Band des ICM 2018.

Zur Theorie der Lorentz-Polynome gehört die Arbeit mit Petter Brändén „Lorentzian polynomials“ in Annals of Mathematics, Band 192, 2020, S. 821–891. Weitere neuere Arbeiten sind unter anderem „Correlation bounds for fields and matroids“ mit Benjamin Schröter und Botong Wang, JEMS Band 24, 2022, S. 1335–1351, sowie Arbeiten von 2023 zu „Lagrangian geometry of matroids“ und „Stellahedral geometry of matroids“.