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Jaccard-Koeffizient
Der Jaccard-Koeffizient konnte sich in der Mathematik etablieren und wird als Ähnlichkeitsmaß für Mengen, Vektoren und ganz allgemein für Objekte genutzt.
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Bedeutung und Berechnung der Ähnlichkeit
Der Jaccard-Koeffizient, auch Jaccard-Index oder IoU (Intersection over Union), ist eine Kennzahl für die Ähnlichkeit von Mengen. Er setzt die Zahl der Elemente, die beide Mengen gemeinsam haben, ins Verhältnis zur Zahl aller Elemente, die in mindestens einer der Mengen vorkommen.
Für zwei Mengen A und B gilt: J(A,B) = |A ∩ B| / |A ∪ B|. Dabei ist A ∩ B die Schnittmenge, also die gemeinsamen Elemente, und A ∪ B die Vereinigungsmenge, also alle Elemente aus A und B ohne Doppelzählung. |…| bezeichnet die Anzahl der Elemente einer Menge.
Für n Mengen lautet die Formel: J(S₁,S₂,…,Sₙ) = |S₁ ∩ S₂ ∩ … ∩ Sₙ| / |S₁ ∪ S₂ ∪ … ∪ Sₙ|.
Der Wert liegt mindestens bei 0. Je näher er bei 1 liegt, desto ähnlicher sind die Mengen.
Beispiel und Jaccard-Distanz
Für A = {1,2,3,4,7} und B = {1,4,5,7,9} ist die Schnittmenge {1,4,7} und die Vereinigungsmenge {1,2,3,4,5,7,9}. Deshalb gilt: J(A,B) = 3/7 = 0,428…
Aus dem Koeffizienten wird die Jaccard-Metrik beziehungsweise Jaccard-Distanz abgeleitet. Sie misst die Unähnlichkeit: Jδ(A,B) = dJ(A,B) = 1 − J(A,B) = (|A ∪ B| − |A ∩ B|) / |A ∪ B|.
Für mehrere Mengen gilt: Jδ(S₁,S₂,…,Sₙ) = 1 − J(S₁,S₂,…,Sₙ) = (|S₁ ∪ S₂ ∪ … ∪ Sₙ| − |S₁ ∩ S₂ ∩ … ∩ Sₙ|) / |S₁ ∪ S₂ ∪ … ∪ Sₙ|.
Ein Wert nahe 0 bedeutet, dass die Mengen sehr ähnlich sind. Der maximale Wert ist 1; dann sind die Mengen überschneidungsfrei.
Anwendung bei Texten
Im Textmining, besonders bei der Duplikaterkennung, dient die Jaccard-Ähnlichkeit zum Vergleich zweier Texte oder Strings. Dazu werden die Strings zunächst in Token zerlegt, beispielsweise an Leerzeichen oder in N-Gramme mit N > 1. Die entstehenden Mengen von Stringabschnitten werden anschließend mit dem Jaccard-Koeffizienten verglichen.