Dihedrale Primzahl

Definition und Grundprinzip

Eine dihedrale Primzahl ist in der Unterhaltungsmathematik eine Primzahl p, die auf einem 7-Segment-Display nicht nur selbst prim ist. Auch die folgenden drei Darstellungen müssen Primzahlen ergeben: p um 180° gedreht, p horizontal gespiegelt sowie p horizontal gespiegelt und anschließend um 180° gedreht. Insgesamt müssen also vier Zahlen Primzahlen sein.

Die Eigenschaft hängt von der Basis b des Zahlensystems ab. Üblicherweise wird b = 10, also das Dezimalsystem, betrachtet. Entscheidend ist, dass jede verwendete Ziffer nach den vorgesehenen Veränderungen noch als gültige Ziffer dargestellt werden kann und dass die entstehenden Zahlen Primzahlen sind.

Spiegelung und Drehung der Ziffern

Auf einem 7-Segment-Display lassen sich die Ziffern 0 bis 9 sowie im Hexadezimalsystem A bis F darstellen; b und d werden dabei kleingeschrieben. Im Dezimalsystem kommen für dihedrale Primzahlen nur die Ziffern 0, 1, 2, 5 und 8 infrage. Im Hexadezimalsystem kommen 3 und E hinzu.

• 0, 1 und 8 bleiben bei Drehung und Spiegelung gleich. Bei der 1 verschiebt sich zwar die Position auf dem Display, sie bleibt aber eine 1.
• 2 und 5 bleiben bei einer Drehung gleich. Bei einer Spiegelung werden sie ineinander umgewandelt.
• 3 und E werden sowohl durch Spiegelung als auch durch Drehung ineinander umgewandelt. Daher sind sie im Hexadezimalsystem geeignet.
• 6 und 9 werden durch Drehung ineinander umgewandelt, ergeben bei Spiegelung aber keine gültigen Ziffern und sind deshalb ungeeignet.
• A bleibt bei Spiegelung gleich, ergibt gedreht aber keine gültige Ziffer. b und d werden bei Spiegelung ineinander umgewandelt, ergeben gedreht jedoch ebenfalls keine gültigen Ziffern.
• 4, 7, C und F ergeben weder bei Drehung noch bei Spiegelung gültige Ziffern.

Damit beschränkt sich die Auswahl der möglichen Ziffern stark. Zusätzlich müssen aber alle vier entstehenden Zahlen tatsächlich Primzahlen sein.

Beispiele und größte bekannte Zahl

Die kleinsten dihedralen Primzahlen im Dezimalsystem beginnen mit: 2, 5, 11, 101, 181, 1181, 1811, 18181, 108881, 110881, 118081, 120121, 121021, 121151, 150151, 151051, 151121, 180181, 180811, 181081, … Diese Folge ist als A134996 in OEIS verzeichnet.

Die kleinste dihedrale Primzahl, bei der jede Drehung beziehungsweise Spiegelung eine andere Primzahl ergibt, ist p = 120121. Die vier zugehörigen Primzahlen sind 120121 selbst, nach 180°-Drehung 121021, nach horizontaler Spiegelung 151051 und nach Spiegelung mit anschließender Drehung 150151.

Die kleinste dihedrale Primzahl, die alle gültigen Dezimalziffern verwendet, ist p = 108225151. Bis 10^12 gibt es 2958 weitere solche Zahlen. Die größte dihedrale Primzahl bis 10^12 mit allen gültigen Ziffern ist p = 188885250551.

Stand 5. Februar 2020 war die größte bekannte dihedrale Primzahl p = 10^180054 + 8 · ((10^58567 − 1) / 9) · 10^60744 + 1. Sie besteht aus 1, 60743 Nullen, 58567 Achtern, 60743 Nullen und einer abschließenden 1 und hat 180.055 Stellen. Darren Bedwell entdeckte sie im Jahr 2009.

Zusammenhänge und andere Zahlensysteme

Einige bekannte Primzahlklassen liefern unmittelbar dihedrale Primzahlen:

• Strobogrammatische Primzahlen, in denen keine 6 und keine 9 vorkommen, sind dihedral.
• Primzahlen, die Repunits sind, sind dihedral.
• Primzahlpalindrome, die nur die Ziffern 0, 1 und 8 enthalten, sind dihedral.

Auch in anderen Zahlensystemen wird die Eigenschaft von der jeweiligen Basis und den dort darstellbaren Ziffern bestimmt. Im Dualsystem mit der Basis b = 2 sind alle Primzahlpalindrome dihedrale Primzahlen, weil dort nur 0 und 1 vorkommen und damit die Bedingung für Primzahlpalindrome mit den Ziffern 0, 1 und 8 erfüllt ist.

Im Hexadezimalsystem mit der Basis b = 16 gibt es keine dihedralen Primzahlen, die mit 3 beginnen. Beginnt eine solche Zahl n mit 3, endet ihre horizontal gespiegelte Darstellung mit E. Im Hexadezimalsystem sind neben 0, 2, 4, 6 und 8 auch A, C und E gerade Zahlen. Eine Zahl, die mit E endet, wäre daher gerade und keine Primzahl. Die Annahme führt somit zum Widerspruch.