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Beobachtbarer Durchmesser
In der Mathematik ist der beobachtbare Durchmesser (engl.: observable diameter) ein Begriff aus der Theorie metrischer Maßräume.
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Grundidee
Der beobachtbare Durchmesser ist ein Begriff aus der Theorie metrischer Maßräume. Ein metrischer Maßraum ist ein Raum, in dem es sowohl eine Metrik d_X, also einen Abstand zwischen Punkten, als auch ein Maß μ_X gibt, mit dem man die Größe von Teilmengen beschreibt. Der beobachtbare Durchmesser misst, wie groß ein solcher Raum wirkt, wenn man ihn durch reellwertige 1-Lipschitz-Funktionen beobachtet. Eine 1-Lipschitz-Funktion f:X→R vergrößert Abstände nicht: Der Abstand der Funktionswerte ist höchstens so groß wie der Abstand der ursprünglichen Punkte.
Partieller Durchmesser
Für einen metrischen Maßraum (X,d_X,μ_X) wird zunächst der Durchmesser einer Teilmenge A über die Metrik definiert als
\operatorname{diam}(A):=\sup_{x,y\in X}{d_X(x,y)}.
Für eine reelle Zahl κ≥0 ist der κ-partielle Durchmesser bezüglich μ_X definiert durch
\operatorname{ParDiam}{\mu_X}(X,-\kappa):=\inf{A\in{A\subset X:\mu_X(A)\geq 1-\kappa}}\operatorname{diam}(A).
Das bedeutet: Man betrachtet alle Teilmengen A⊂X, deren Maß mindestens 1−κ ist, und sucht unter ihren Durchmessern das Infimum. Anschaulich fragt man, wie klein der Durchmesser einer Teilmenge sein kann, die fast den ganzen Raum im Maßsinn enthält.
Beobachtbarer Durchmesser
Sei \operatorname{Lip}1(X,\mathbb{R}) der Raum der Lipschitz-stetigen Abbildungen f:X→R mit Lipschitz-Konstante 1. Ist f*μ_X das Bildmaß von μ_X unter f, dann ist der κ-beobachtbare Durchmesser von X bezüglich μ_X definiert als
\operatorname{ObsDiam}{\mu_X}(X,-\kappa):=\sup{f\in\operatorname{Lip}1(X,\mathbb{R})}\operatorname{ParDiam}{f_*\mu_X}(\mathbb{R}).
Man nimmt also für jede 1-Lipschitz-Funktion nach R den κ-partiellen Durchmesser des Bildmaßes und davon das Supremum. Der Begriff beschreibt, wie groß der Raum im ungünstigsten Fall erscheint, wenn man ihn mit solchen Abstand nicht vergrößernden reellen Funktionen betrachtet. Für κ=0 erhält man den Durchmesser von X. Für κ≥1 gilt \operatorname{ObsDiam}_{\mu_X}(X,-\kappa)=0.
Lévy-Familien
Eine Folge metrischer Maßräume X_n heißt Lévy-Familie, wenn es ein κ>0 gibt mit
\lim_{n\to\infty}\operatorname{ObsDiam}{\mu{X_n}}(X_n,-\kappa)=0.
Das bedeutet: In der Folge wird der beobachtbare Durchmesser für ein positives κ im Grenzwert null. Ein Beispiel aus dem Artikel sind runde Sphären S^n(r_n)⊂R^{n+1}. Eine solche Folge ist genau dann eine Lévy-Familie, wenn
\lim_{n\to\infty}\frac{r_n}{\sqrt n}=0
gilt.
Wichtige Beziehungen
Der beobachtbare Durchmesser steht in Beziehung zum Trennungsabstand, auf Englisch separation distance. Dieser Trennungsabstand steht wiederum in Beziehung zu den Eigenwerten des Laplace-Operators mit Neumann-Randbedingungen.
Für geschlossene, n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten M mit Ricci-Krümmung \operatorname{Ric}\geq n-1 gilt für alle 0<κ<1 die Abschätzung
\operatorname{ObsDiam}{\mu_M}(M,-\kappa)\leq\operatorname{ObsDiam}{\mu_M}(S^n(1),-\kappa).
Damit wird der beobachtbare Durchmesser solcher Mannigfaltigkeiten durch den entsprechenden beobachtbaren Durchmesser der Einheitssphäre S^n(1) nach oben beschränkt.