Assoziator (Mathematik)

Bedeutung des Assoziators

Der Assoziator ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er ist ein Maß dafür, wie stark eine algebraische Struktur bzw. eine dort definierte zweistellige Verknüpfung vom Assoziativgesetz abweicht. Das Assoziativgesetz besagt, dass es bei einer Verknüpfung gleichgültig ist, wie man Klammern setzt, also (x ∘ y) ∘ z = x ∘ (y ∘ z). Der Assoziator wird in verschiedenen Teilgebieten unterschiedlich definiert, insbesondere in der Ringtheorie und in der Quasigruppentheorie.

Assoziator in Ringen und Algebren

In einem nichtassoziativen Ring oder einer nichtassoziativen Algebra (R, ∘) ist der Assoziator eine multilineare Abbildung mit drei Argumenten: [x, y, z] = (x ∘ y) ∘ z − x ∘ (y ∘ z). Er misst also direkt, wie verschieden die beiden möglichen Klammerungen von drei Elementen sind. Statt [x, y, z] werden auch die Schreibweisen (x, y, z) oder A(x, y, z) verwendet. In einem assoziativen Ring ist der Assoziator immer gleich Null.

Eigenschaften des Assoziators in Ringen

Für den Assoziator in einem nichtassoziativen Ring gilt die Identität: w[x, y, z] + [w, x, y]z = [wx, y, z] − [w, xy, z] + [w, x, yz]. Der Assoziator alterniert (das heißt, er wird Null, wenn zwei Argumente gleich sind) genau dann, wenn der Ring alternativ ist. Er ist symmetrisch in seinen am weitesten rechts stehenden Argumenten, wenn R eine Prä-Lie-Algebra ist.

Quasigruppen und ihr Assoziator

Eine Quasigruppe Q ist eine Menge mit einer zweistelligen Verknüpfung ·, bei der für alle a, b aus Q die Gleichungen a · x = b und y · a = b jeweils eindeutige Lösungen x und y in Q besitzen. Auch hier misst der Assoziator die Abweichung der Verknüpfung vom Assoziativgesetz, seine Definition unterscheidet sich aber grundlegend von der in der Ringtheorie: Statt einer Differenz wird er als ein Faktor definiert. Es gilt (a · b) · c = (a · (b · c)) · (a, b, c) für alle a, b, c aus Q, wobei (a, b, c) der Assoziator ist.