Variation ohne und mit Wiederholung - Kombinatorik
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=fi2QPBrqs5Y

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 in diesem Tutorial werden wir uns anschauen welche Bedeutung Variationen ohne und mit Wiederholung haben wie man die Formel nachvollziehen kann und
0:08 natürlich wie man sich anwendet für den Anfang eine kleine Übersicht über die wichtigsten kombinatorische Mittel es gibt Permutationen ohne und mit
0:18 Wiederholung dann Kombination ohne mitwiederholung und natürlich Variationen ohne um mit Wiederholung hier werden wir uns hauptsächlich nur
0:29 mit dem Variationen beschäftigen allerdings ist es empfehlenswert auch die anderen zwei zu kennen und vor allem wäre es nicht schlecht in der richtigen
0:39 Reihenfolge das zu tun also das heißt zuerst die Permutationen Kombinationen und dann die Variation anzuschauen weil alles aufeinander ein bisschen aufbaut
0:48 wenn ihr Bedarf zu den anderen zwei Themen sieht am Ende dieses Videos im Abspann findet ihr auch dafür passende Tutorials bevor wir richtig loslegen
0:57 schauen wir uns eine sehr wichtige Eigenschaft der Variationen eine Eigenschaft die sie von den anderen Mittel unterscheidet und vor allem von
1:06 den Kombinationen weil damit gibt es sozusagen die größte Verwechslung gefahren und dafür nehmen wir ein kleines Beispiel
1:16 diejenigen von euch die die anderen zwei Tutorial schon angeschaut haben kennen das wahrscheinlich ich habe das natürlich jetzt passen umgeändert damit
1:24 es für die Variationen passt ich überfliege kurz die Aufgabenstellung in einem Badewanne befinden sich drei verschiedenen farbige Gummienten eine
1:32 rote eine grüne und eine blaue wir ziehen nacheinander zwei Enden ohne Zurücklegen und das könnte wie folgt aussehen also das sind unsere drei
1:44 Gummienten wir können als erstes eine rote Ente ziehen oder eine blaue und alternativ könnten wir am Anfang eine blaue und
1:57 dann eine rote ziehen Voraussicht hinaus möchte diese zwei Ziehungen unterscheiden sich nur in der Reihenfolge und darum geht es bei dieser
2:08 Variation also die beiden Anordnungen unterscheiden sich nur in der reihenfolge-elemente und werden daher als verschiedene Variationen betrachtet
2:18 wieso ist das wichtig zum Beispiel bei Kombinationen spielt die Reihenfolge gar keine Rolle also da unterscheiden wir nicht zwischen den linken und den
2:27 rechten Ziehung hier schon und das macht Variationen aus also merkt euch bitte an dieser Stelle die Reihenfolge der Elemente bei Variationen wird
2:36 berücksichtigt oder spielt eine wichtige Rolle und deshalb werden sie manche Bücher auch als geordnete Stichproben bezeichnet und jetzt wollen wir
2:45 natürlich den Unterschied verstehen zwischen Variationen ohne um mit Wiederholung wie ihr seht fangen wir an mit Variation ohne Wiederholung also die
2:53 Aufgabenstellung sollte euch vom vorher bekannt vorkommen ich habe nur eine Sache hier in dieser Aufgaben ein bisschen besser verdeutlicht und zwar am
3:02 Ende steht wie Zier nacheinander zwei Enden ohne Zurücklegen dieser Formulierung dieser Formulierung hier an dieser Stelle bedeutet eigentlich dass
3:11 die Ziehung ohne Wiederholung ist also eine Ziehung ohne Zurücklegen die sind Zusammenhang bedeutet eine Ziehung ohne Wiederholung und diesmal haben wir sogar
3:23 eine konkrete Fragestellung und zwar auf wie viel verschiedene Arten lassen sich zwei Enden aus der Badewanne ziehen ohne Zurücklegen also ohne Wiederholung und
3:34 mit Berücksichtigung der Reihenfolge und das diese letzte Formulierung ist der Hinweis dass sie sich hier um die Anzahl der Variationen handelt um diese Frage
3:45 zu beantworten versuchen wir jetzt das ganze nicht rechnerisch zu betrachten sondern bildlich das heißt wir versuchen uns alle Möglichkeiten anhand dieser
3:55 Enden vorzustellen und wir fangen natürlich mit den zwei Fällen die wir schon also von links nach rechts kann man auch die reihenfolgedeziehung
4:03 betrachten das wird in diesem Fall wurde zuerst die rote und dann die blaue Ente gezogen die zweite Fall natürlich zuerst wurde die blaue und dann die rote
4:12 gezogen dann wechseln wir die Farben hier wurde zuerst die rote und an die grüne gezogen dann wieder zuerst die grüne und dann die rote und die letzten
4:22 zwei Möglichkeiten grün und blau bzw blau und grün also schlussfolgend könnten wir sagen es gibt sechs mögliche Variationen
4:33 jetzt wäre es natürlich interessant zu wissen wie man auf eine passende Formel dazu kommt naja ich habe bereits schon vorgewarnt die Variationen hängen ein
4:44 bisschen von den Kombinationen ab und deshalb fängt alles an auch mit der Formel für die Anzahl der Kombination ohne Wiederholung die sollte euch auf
4:54 jeden Fall noch mal bekannt vorkommen das war diese drei über zwei in diesem Fall Geschichte also mit dieser Formel würden wir jetzt die Anzahl der
5:03 Möglichkeiten ausrechnen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge dann werden es ja Kombinationen was ändert sich denn eigentlich an
5:13 dieser Formel naja die zwei Enden dividieren können wir auf zwei verschiedene Arten und Weisen permutieren zum Beispiel wenn wir uns
5:20 jetzt auf die Farben Rot und Blau beziehen bedeutet das ich kann ihn wieder die rote zuerst und dann die blaue oder die blaue und dann die rote
5:28 und das gibt für alle Farben Kombinationen deshalb müssen wir praktisch dieser Formel noch mal mit der Gesamtanzahl dieser Möglichkeiten nehmen
5:39 und zwar mal zwei Fakultät in diesem Fall weil wir ziehen nur zwei Enden und ihr merkt jetzt was passiert an dieser Stelle man kann die zwei Fakultät in
5:48 Zähler und im Nenner kürzen und entsprechend haben wir dann die Anzahl der Variationen also wo die Reihenfolge berücksichtigt wird und das wäre dann
5:58 einfach drei Fakultät in diesem Fall durch 3 - 2 Fakultät wenn wir das jetzt auf die allgemeine Formel der Kombinationen
6:12 beziehen das war die hier das bedeutet das ganze wird noch mal mit K Fakultät multipliziert und kafakultät und kaf Fakultät kürzen sich wieder weg und
6:22 damit haben wir die Formel für die Anzahl der Variationen ohne Wiederholung zugegeben diese Formel ist nicht so einfach nachzuvollziehen wenn man nicht
6:32 voll und ganz in diesem Thema ist hier muss die Eigenschaften von Kombinationen kennen also Kombination ohne Wiederholung und natürlich auch wissen
6:39 was eine Permutation bedeutet aber ich denke mir wenn diese zwei Sachen klar sind dann ist auch nachvollziehbar an dieser Stelle wie
6:47 diese Formel entsteht und jetzt sind wir bei dem Variationen mit Wiederholungen die Aufgabenstellung ist komplett gleich geblieben bis auf ein wichtiger Detail
6:57 wir ziehen nacheinander zwei Enton jetzt mit Zurücklegen das bedeutet natürlich auch übersetzt mit Wiederholung die Fragestellung ändert sich dann auch nur
7:08 geringfügig auf wie viele verschiedene Arten lassen sich zwei Enten aus der Badesee Badewanne ziehen mit zurücklegen und mit Berücksichtigung der Reihenfolge
7:19 und wir versuchen uns das Ganze für den Anfang wieder bildlich vorzustellen das heißt wir haben einmal alle Möglichkeiten die wir schon hatten oder
7:27 alle Variationen die wir ursprünglich hatten und zusätzlich wenn wir jetzt die gezogene Ende zurücklegende Badewanne entstehen noch drei weitere
7:37 Möglichkeiten wo wir dann jeweils die gleiche Farbe ziehen also wir können dann auch noch zwei rote ziehen zwei grüne oder zwei blaue also schlussfolgen
7:47 können wir sagen dass wir in diesem Fall 9 mögliche Variationen haben die passende Formel ist in diesem Fall deutlich einfacher nachzuvollziehen also
7:57 ihr müsst euch so vorstellen wenn ihr die erste Ente aus der Badewanne zieht dann habt ihr drei Möglichkeiten dafür ihr könnt entweder die rote die blaue
8:08 oder die grüne Ente ziehen dann legt ihr diese Ente zurück in die Badewanne das bedeutet für die zweite Ente die wir ziehen wollen haben wir immer noch drei
8:18 Möglichkeit also insgesamt haben wir drei mal drei Möglichkeiten das kann man auch als 3 hoch 2 ziehen wobei drei wäre jetzt in
8:29 diesem Fall die Anzahl der endende Badewanne und zwei wäre die Anzahl der enden die insgesamt gezogen werden das sind natürlich 9 Möglichkeiten naja
8:41 dadurch könnte man die Formel aus sehr einfach Fall gemeinen die würde dann so aussehen also die Anzahl der Variationen mit Wiederholung ist einfach ein Hochkar
8:52 und damit nichts Wichtiges aus den Erinnerungen bei diesem Thema verschwindet wollen wir an dieser Stelle alles was wir bis jetzt angeschaut haben
9:00 allgemeiner zusammenfassen also es geht um die Variation ohne um mit Wiederholung allgemein hat kann man das ganze auch so formulieren aus n
9:10 verschiedenen Elementen werden k-elemente entnommen wobei die Reihenfolge der Ziehung von Bedeutung ist
9:17 die gezogenen Kugel bilden dann eine sogenannte Variation erste Möglichkeit wenn die Ziehung der Keilelemente ohne Zurücklegen erfolgt
9:26 also ohne Wiederholung ist das die passende Formel und wenn die Ziehung der keilemente mit Zurücklegen erfolgt also mit Wiederholung ist dieser hier unten
9:37 die passende Formel um zum Schluss noch zwei sehr kurze Aufgaben die das ganze verdeutlichen sollen ich habe eine Bitte an dieser Stelle drückt auf Pause und
9:46 ist immer Ruhe die Aufgabenstellung ich werde sie jetzt nur überfliegen also bei der ersten Beispielaufgabe beim Pferderennen muss in der 3er Wette der
9:56 Zieleinlauf der ersten drei Pferde in der richtigen Reihenfolge vorausgesagt werden wie viele verschiedene Dreier Wetten sind möglich wenn acht Pferde
10:06 starten also nächste Reihe solltet ihr erkennen dass die Reihenfolge eine Rolle spielt also das schon klar dass sie sich hier
10:15 bei dieser Fragestellung um Variationen handelt dann müsst ihr nur noch feststellen ob es eine Variation mit oder ohne Wiederholung ist und da die
10:25 Fährte oder die der gleiche fährt nicht öfters über die Ziellinie laufen kann ist es natürlich eine Variation ohne Wiederholung und das heißt wir nehmen
10:37 dann entsprechend dieser Formel dafür wobei n die Gesamtanzahl der Pferde ist also entweder in diesem Fall 8 und K natürlich die drei Pferde die über
10:48 Ziellinie laufen also K ist 3 das heißt wenn wir jetzt die Anzahl der Variationen ausrechnen wollten dann müssen wir einfach nur acht Fakultät
10:57 durch in Klammer 8-3 Fakultät ausrechnen 8 - 3 ist natürlich 5 also ausführlich geschrieben
11:06 werde das dann acht mal sieben mal sechs Mal fünf mal vier Mal drei mal zwei mal eins ja das ist ein bisschen Gemüse mehr Geschichte so
11:20 wie es aussieht hier und unten Nenner fünf mal vier Mal drei mal zwei mal eins zum Glück können wir einiges hier weg streichen also wir könnten hier unten
11:33 alles von 5 bis 1 Weg streichen weil der gleiche dem taucht auch oben auf und das einzige was wir oben noch haben ist 8 x 7 x 6 also insgesamt hätte mir dann hier
11:47 336 Möglichkeiten bei der zweiten Beispielaufgabe überfliege ich dann auch kurz die Aufgabenstellung zwei Würfel werden
11:56 gleichzeitig geworfen wie interessieren uns für die auftretenden Augenpaare wie viel verschiedene Augenpaare sind möglich
12:05 in erster Reihe sollte euch das Wort Augenpaare auffallen der entscheidet ob sich ob hier eine Reihenfolge bzw keine Reihenfolge von Bedeutung ist bei dem
12:16 Augenpaar kann zum Beispiel auch eine zwei mit drei auftreten aber auch eine 3002 das sind verschiedene Augenpaare deshalb spielt die Reihenfolge auf jeden
12:27 Fall eine Rolle also Variation jetzt müsst ihr nur noch entscheiden ob es mit oder ohne Wiederholung ist naja die Zahlen dieser Augenpaare können auch
12:39 mehrmals auftreten das heißt ich kann noch zweimal die zwei oder zweimal die drei auftreten deshalb ist es praktisch mit Wiederholung und aus diesem Grund
12:49 brauchen wir natürlich diese Formel also in diesem Fall wäre gleich 6 jeder Würfel hat sechs Seiten sozusagen und bindet sie uns führen
13:00 augenbad also wir brauchen nur zwei sozusagen Augenzahlen dafür für ein augenbad deshalb ist n = 6 und K = 2 also die
13:11 Anzahl der Variationen mit Würde Erholung ist dann 6 hoch 2 also noch K und das sind dann natürlich 36 Möglichkeiten zum Schluss noch ein paar
13:21 Hinweise wie bereits am Anfang erwähnt ist es natürlich auch wichtig dass ihr die Permutationen und Kombination dabei versteht sowie wird es nicht verkehrt
13:30 wenn ihr eine Zusammenfassung anschaut wo alle diese drei kombinatorische Mittel schön zusammen dargestellt sieht so dass man praktisch die
13:40 Gemeinsamkeiten und die Unterschiede erkennen kann und sie nicht durcheinander bringt wenn Bedarf Tutorials zu alle diese
13:48 Themen findet ihr gleich im Abspann und wenn euch dieses Video gefallen hat ein Like eine das Kommentar oder sogar ein Abo kostenlos und wenn es euch nicht
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