Differentialgleichung lösen – DGL 1. Ordnung, Anfangswertproblem, Trennung der Variablen
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=Sm0Go9IioJ4

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hi in diesem Video möchte ich zusammen mit euch dieses Anfangswert Problem lösen dazu müssen wir aber als allererstes diese Differentialgleichung
0:08 lösen und erst nachdem wir eine Lösung eine allgemeine Lösung für diese Differenzialgleichung gefunden haben dann kümmern wir uns um diesen
0:16 Anfangswert was haben wir hier wir haben eine Differentialgleichung erster Ordnung weil wir hier ja nur die erste Ableitung von Y betrachten und es ist
0:26 auch eine homogene Differenzialgleichung weil hier kein Plus X noch steht also es sind nur Teile mit Y wirklich drin also irgendwas mit X mal y und kein einzelner
0:38 Teil nur mit X das heißt sie ist relativ gut zu lösen und zwar werden wir das mit der Trennung der veränderlichen machen also Trennung der Variablen das heißt
0:49 alles mit X kommt auf eine Seite alles mit Y kommt auf die andere Seite aber y- müssen wir zuallererst mal noch umschreiben die Schreibweise habt ihr
0:58 bestimmt schon gesehen das kann kann ja auch schreiben als dy durch DX und die andere Seite bleibt einfach so stehen das hier ist ja einfach nur die
1:08 mathematische Schreibweise für y- und jetzt bringen wir alles mit X auf die eine Seite alles mit Y auf die andere Seite das heißt wir
1:16 multiplizieren zuerst mal mit DX damit es darüber hüpft dann steht da nur die y = Wurzel x man y mal DX und jetzt müssen wir noch durch y teilen damit wirklich
1:29 alles mit Y links ist und alles mit X rechts ist das heißt das steht die y durch y und rechts der Rest nur ohne das Y jetzt würde ich euch immer noch
1:43 vorschlagen weil wir werden diese Sachen jetzt gleich integrieren wenn dieses dy hier in so einem Bruch dann noch mit drin steht schreibt das einzeln also
1:53 schreibt dieses 1 durch y vorne dran und erst dann das dy hinten dran damit ihr wirklich wisst wie eure Funktion aussieht die ihr zu integrieren habt und
2:04 da rechts passt ja soweit alles okay das ist jetzt die Trennung der veränderlichen gewesen wir haben alles mit Y links alles mit X rechts jetzt
2:16 wollen wir das Ganze nach y auflösen das Problem ist nur wir haben hier dieses dy und TX da drin wie eben schon erwähnt wir müssen integrieren diese Zeile steht
2:26 jetzt noch mal hier und einfach auf beiden Seiten das Integral anwenden 1 durch y die Stammfunktion davon wäre ja LN vom Betrag von Y also diese Seite
2:42 kann man ja ganz gut integrieren vergesst nicht dass da jetzt noch Integrationskonstanten dazu kommen also plus irgendeine konstante die wenn wir
2:52 eben keine Grenzen beim integral haben ja noch mit dazugehören und auf der anderen Seite genauso da wird auch eine konstante dazukommen wenn wir Wurzel aus
3:00 x integrieren das Schreiben auf am besten erstmal um das kann man ja zu x^1/2 umschreiben und wenn wir das dann integrieren wird die Hochzahl um 1
3:10 erhöht also ein halb plus 1 gerechnet das sind dann drei halbe und vorne dran steht ja diese 1 durch die neue Hochzahl also 1 durch die drei halbe vergesst
3:23 nicht die zweite integrationskonstante noch hinten dran zu machen das ist dann eine andere C1 hier auf der Seite C2 auf der anderen Seite wenn wir eben keine
3:32 Grenzen bei unserem integr haben jetzt wollen wir das ganze hier nach y auflösen denn das sind ja unsere Lösungen für unsere
3:41 Differenzialgleichung dazu würde ich zuallererst mal die eine konstante auf die andere Seite bringen also minus C1 rechnen dann steht da noch der
3:49 Logarithmus von Y Betrag von Y wäre dann und dieses eins durch drei halbe das könnte man auch mal zu zwei Drittel umformen und den Rest schreiben wir so
4:01 hin beziehungsweise plus T2 und noch minus C1 diese Konstanten hier man will natürlich nicht ein Haufen einzelner konstanten haben da ist ja sowieso
4:13 einfach Konstanten sind die wir gar nicht kennen können wir die auch zu einer einzigen konstante zusammenfassen und die nennen wir einfach C dann steht
4:22 da Ellen Betrag von Y = und jetzt [Musik]
4:29 genau das steht ja noch als plus da das können wir dann erstmal noch so stehen lassen ich dachte ich wäre schon einen Schritt weiter die stehen jetzt einfach
4:36 nur mit einem Plus C hinten dran gut das ist das was auch auf der nächsten Seite steht wie können wir hier jetzt weitermachen wir wollen immer noch
4:46 nach y auflösen und das können wir jetzt machen indem wir auf beiden Seiten die e-Funktion anwenden damit sich der LN ja gerade weghebt das heißt hier steht nur
4:59 noch der Betrag von Y und rechts haben wir eben e hoch diese ganze Seite also e hoch zwei Drittel und das ganze Zeug hinten dran
5:12 wir wollen immer noch nach y auflösen das heißt der Betrag muss gleich weggehen aber lasst uns ganz kurz mal noch mit dieser konstanten hier schauen
5:19 die steht ja hier mit einem Plus C im Exponenten wir hätten die gerne aber als Faktor und nicht da oben drin deswegen ziehen wir diese
5:29 Hochzahlen sozusagen auseinander das können wir ja machen in dem wir den ersten Teil der Hochzahl hinschreiben und dann aber
5:38 multiplizieren mit der Basis und dann hoch C das ist die ganz normale Anwendung des potenzgesetzes wenn ihr sowas hier habt dann könnt ihr das ja
5:49 auseinander ziehen als x Quadrat mal x hoch 3 also wirklich einfach die Hochzahl auseinander gezogen und jetzt ist es so
5:59 dass E hoch C an sich ist ja auch schon wieder eine konstante weil e ist eine konstante hoch eine andere Konstante ist wieder eine konstante deswegen würden
6:09 wir das hier jetzt einfach auch noch mal als neue konstante festlegen die könnt ihr im Grunde nennen wie ihr wollt
6:18 ihr könnt sie auch einfach noch mal Zähnen also bleibt ruhig bei einer konstanten das ist halt irgendeine konstante ihr könnt es aber auch falls
6:24 es euch irgendwie irritiert könnt ihr auch kan nennen oder wie auch immer auf jeden Fall ich nenne jetzt einfach mal C weil es mein Mann das normalerweise so
6:32 macht und ich Vermerke mir hier jetzt nur das C größer als 0 sein wird denn e hoch irgendeine Konstante ist ja immer positiv also der Teil hier den ich als C
6:45 bin dann benannt habe der ist immer größer 0 das heißt meine Gleichung sieht mittlerweile so aus dieses C das schreibt man normalerweise vorne dran
6:55 also nicht mal C hinten dran sondern einfach vorne dran zehn Mal e hoch das ganze Zeug was fehlt jetzt noch
7:05 naja ich will nach y auflösen habe hier momentan aber noch den Betrag stehen was macht der Betrag überhaupt entweder das Y ist positiv dann darf ich die
7:17 Betragsstriche sowieso weglassen und die Gleichung bleibt oder das Y wäre negativ wenn das so wäre würde da ja minus y rauskommen wenn man dann den Betrag
7:27 nimmt und dann ich schreibe es mal die rechte Seite da ändert sich ja nichts dran hin so was ist jetzt los wenn ich jetzt nach y
7:38 auflösen wollte dann könnte ich ja mit -1 multiplizieren damit das Minus hier wegkommt was verändert sich nur das C wird angepasst es wird dann halt negativ
7:49 weil es vorher ja positiv war also kann ich im Grunde sagen ach das ist mir alles viel zu kommt nicht zu kompliziert aber da sich sowieso nur das C ändern
8:00 wird bei dem ganzen also diese Konstante lasse ich jetzt einfach alle reellen Zahlen für das C zu weil ich das da schon drin verpackt habe dann sozusagen
8:10 also wenn ich den Betrag auflöse sorgt das einfach nur dafür dass ich statt alle positiven Zahlen für mein Ziel zuzulassen
8:21 nehme ich einfach noch alle negative Zahlen mit dazu weil es ja sein kann dass das Y auch negativ ist und dann wirkt sich das halt eben auf das Zeh aus
8:29 also so können sich eure konstanten die sind echt wichtig in dem ganzen Prozess dann verändern und haltet einfach im Hinterkopf oder schreibt es ruhig hin
8:37 was für eure konstanten dann in dem Fall gilt und das hier ist jetzt meine allgemeine Lösung für meine Differentialgleichung vom Anfang ich
8:48 habe selbst geschafft nach y aufzulösen und da steht halt jetzt noch dieses C mit drin das ist die allgemeine Gleichung wenn ihr kein Anfangswert
8:57 bekommen habt dann seid Ihr hier jetzt fertig wir haben aber noch einen Anfangswert bekommen nämlich y von 4 ist 1 das hier ist jetzt die Lösung die wir
9:07 eben gefunden haben und in die müsst ihr jetzt einfach nur noch den Anfangswert eintragen und zwar ist das was hier drin steht das ist ja euer x und das was hier
9:17 rauskommt soll oder Y sein das packt ihr dann hier also einfach in die gleich rein also für Y die 1 das C suchen wir ja und für das X schreibt er die 4 rein
9:29 und das da löst jetzt einfach nach C auf wenn ihr erstmal die Hochzahl ausrechnet kommt da 16/3 raus und wenn ihr dann durch E hoch 16/3 rechnet steht da C =
9:42 0,004 8 und für dieses anfangswertsproblem wäre dann also y = 0,0048 mal dieses ganze Zeug von der
9:57 e-Funktion das wäre dann die Lösung zu eurem Anfangswert Problem zu diesem ganz speziellen zu dieser Bedingung die ihr bekommen habt die allgemeine Lösung der
10:08 Differentialgleichung wäre das da was wir da hatten sehr gut dann hoffe ich dass ihr jetzt wisst wie man solche homogenen
10:16 Differenzialgleichungen löst mit der Trennung der Variablen und dann integrieren und mit diesen Integrationskonstanten immer wieder die
10:24 Sachen zusammenfassen und schauen dass er möglichst nur eine von diesen konstanten dann mitzieht dann habt es natürlich nicht so schwierig sehr gut so
10:34 funktioniert das Ganze falls ihr Fragen habt dann meldet euch einfach in den Kommentaren