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Was ist eine Folge? rekursiv vs. explizit | Beispiele (arithmetisch, geometrisch, Fibonacci, Prim)
Das Wichtigste aus dem Video
Tipp auf eine Zeit – das Video springt genau dorthin.
Transkriptautomatisch erstellt · 78 Zeilen
- eine zahlenfolge ist genau wie der name schon sagt einfach nur eine abfolge von zahlen meistens bezeichnet man sie mit buchstaben die abc oder xy und schreibt
- tief gestellt so eine index zahl hin meistens eng für numbers die dann genau angibt um das wievielte glied dieser zahlen kette es sich handelt wenn man
- jetzt zum beispiel definiert dass es sich bei ende 1 also bei uns hier bei a1 um das erste glied der zahlen kette handelt dann wäre art 2 das zweite geht
- der zahlen kette a3 das dritte glied zahlen kette und so weiter und so fort in diesem video zeige ich dir die wichtigsten zahlen folgen die du kennen
- sollte ist und was es mit der regressiven und expliziten darstellungsform auf sich hat los geht's fangen wir mal mit der zahlenfolge an
- die wir schon als kinder als allererstes kennengelernt haben die folge der natürlichen zahlen 1 2 3 4 und so weiter die folge der natürlichen zahlen ist
- eine arithmetische zahlenfolge das kannst du daran erkennen dass der abstand zweier benachbarter zahlen glieder immer konstant ist um jetzt von
- dem ersten zahlen die auf das zweite zu kommen rechnen wir +1 und von dem zweiten auf das dritte zu complus 1 und von dem dritten auf das vierte zukommen
- +1 immer wieder +1 um auf den zugehörigen nachfolger zu kommen und damit haben wir schon die erste darstellungsform unserer zahlenfolge
- rausgefunden immer wenn du so ein muster erkennt wie man von einem folge glied auf den zugehörigen nachfolger kommt und dieses muster jetzt auch wirklich für
- jedes einzelne glied dieser zahlenfolge funktioniert dann nennt man das die rekurse bildungs vorschrift schauen +1 ist der nachfolger von a m
- erkennst du daran dass hier im index plus 1 gerechnet wird also in der kette der zahlenfolge werde jetzt genau 1 geht weiter gegangen und dieser nachfolger
- berechnet sich genau wie wir gerade gesagt haben über den zugehörigen vorgänger +1 du musst immer aufpassen diese bildungs vorschrift hier hängt
- nicht eindeutig mit unserem beispiel folgen natürlichen zahlen zusammen klar gilt das jetzt für diese folge der natürlichen zahlen dass hier die
- repressive bildungs vorschrift ist aber ist es denn wirklich so dass jede zahlenfolge die diese gleichung hier erfüllt gleichen folge der natürlichen
- zahlen ist nein das stimmt nicht zum beispiel hätten wir 1,5 2,5 3,5 4,5 dann würde sich diese folge ebenfalls durch diese region hier darstellen
- es ist aber eine andere zahlenfolge als die dort steht das bedeutet für solche regressiven darstellungsformen brauchst du immer auch noch mindestens ein glied
- der zahlenfolge klassiker ist dass man das erste glied an gibt also zb a1 gleich 1 jetzt funktioniert diese darstellungsform mit diesen sogenannten
- anfangswert stellt jetzt eindeutig unser beispiel da die folge der natürlichen zahlen die revision ist zum beispiel ein
- ziemlich beliebtes hilfsmittel in der informatik stell dir mal vor du möchtest von einer zahlenfolge alle glieder von a1 bis 100 berechnen dann fängst du mit
- deinem vorgegebenen a1 an und kannst mit dieser ganz einfachen rechen anweisung den zugehörigen nachfolger ab 2 berechnen und mit derselben rechen
- anweisung a3 a4 a5 usw bist du bei 100 bist da du sowieso alle glieder dieser zahlenfolge brauchst perfekt jetzt stell dir mal vor du
- möchtest nur das 110 folge geriet berechnen dann bräuchte ist du wenn du mit dieser religionsformen ja arbeitest um das einhundertste folge wie zu
- berechnen dem zugehörigen vorgänger das 99 folge glied und um das zu berechnen brauchst du wieder den zugehörigen vorgänger das 98 zufolge glied und so
- weiter und so fort also um a 100 zu berechnen brauchst du alle 99 davor ebenfalls klar bei der folge der natürlichen zahlen ist das
- jetzt vielleicht noch nicht so das große problem aber es gibt schon relativ einfache zahlen folgen bei denen selbst unser computer ins schwitzen gerät das
- erkennst du dann daran dass vielleicht eine app langsamer funktioniert oder besonders viel akku frisst viel besser wäre es doch wenn wir eine knackige
- formel hätten bei der wir einfach einen gleich 100 einsätzen und sofort das einhundertste folge glied hätten und manche zahlen folgen haben so was
- das nennt sich dann nämlich die explizite bildungs vorschrift von unserer folge den natürlichen zahlen lässt sich die explizite bildungs
- vorschrift relativ einfach erraten und zwar ist das nt glied der zahlenfolge gleich das erste glied der zahlenfolge ist gleich eins das vierte glied der
- zahlenfolge ist gleich vier oder das einhundertste glied der zahlenfolge ist gleich 100 wichtig aber das hier bitte merkst dass nicht jede zahlenfolge eine
- explizite darstellungsform hat es gibt sogar zahlenfolgen die haben nicht mal eine regressive und es gibt sogar zahlenfolgen die haben keine der beiden
- darstellung dazu können wir gleich noch also nimm das bitte nicht als selbstverständlich an dass eine zahlenfolge auch wirklich
- immer eine bildungs vorschrift hat ein wunderschönes beispiel für eine geometrische zahlenfolge mit denen du es zb in der zinseszins oder
- wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun hast wäre ein einhalb ein viertel ein achtel und so weiter und so fort erkennst du vielleicht hier schon das
- muster um von einem folge glied auf den zugehörigen nachfolger zu kommen wir müssen einfach nur rechnen mal eineinhalb mal eineinhalb mal eineinhalb
- mal einhalt das heißt um jetzt auf den nachfolger ein plus eins zu irgendeinem folge glied zu kommen müssen wir dieses folge blieb nur mal ein halb rechnen
- und wichtig noch das hier einen wert dieser zahlenfolge angeben nehmen wir zum beispiel mal diesen startpunkt und den möchte ich jetzt bitte a 001 nennen
- also das ist das neueste folge glied das erste das zweite dritte und so weiter das ist gar nicht so unüblich du hast zb in viel programmiersprachen dass bei der
- null angefangen wird zu zählen ich mache das jetzt nur deswegen weil dadurch die explizite darstellung sich ein bisschen schöner schreiben lässt und
- weil es noch andere vorteile hat dazu aber später mehr also ich darf jetzt einfach das erste glied ist das neunte glied und wenn wir
- das so machen dann lässt sich diese explizite form ganz einfach ausdrücken mit hilfe von einem halbhohen anfangen natürlich bei
- allen gleich null wie das gerade gesagt haben wenn gleich null ist dann haben wir einen halbhoch 0 durch 1 1 halbhoch 1 1 halb zweieinhalb
- drei tatsächlich das passt vielleicht erkennst du jetzt auch schon alleine an diesen beiden beispielen was arithmetische und geometrische
- zahlenfolgen so besonders machen bei arithmetischen zahlen folgen rechnen wir immer plus oder minus eine konstante um von einem folge glied auf den
- nachfolger zu kommen und bei geometrischen rechnen wir mal oder geteilt durch eine konstante um auf dem zugehörigen nachfolger zu kommen aber
- auf arithmetische und geometrische zahlenfolgen gehen wir auch in den nächsten videos genauer ein die aber wahrscheinlich berühmteste aller zahlen
- folgen die den aufbau des lebens beschreibt und all dessen was wir als schönes ästhetische empfinden ist die fibonacci zahlen folge immer wenn du
- zwei aufeinander folgende zahlen glieder adidas dieser folge dann kommt der zugehörige nachfolger raus siehst du dass eins plus eins gleich 2 1 + 2
- gleich drei 23 gleich 53 5 gleich acht und so weiter und so fort ich denke das problem dabei ist nur wenn du jetzt an einer expliziten darstellung
- dieser zahlenfolge interessiert bist also wie man jetzt aus dieser rekurs even form auf genau diese formel kommt weil sie zum beispiel an der 1000
- fibonacci zahlen interessiert bist und zwar ohne die 1999 davor ebenfalls zu berechnen und tatsächlich so ein vorne gibt es
- wenn du einfach ein gleich 1000 einsetzt sagt hast du die 1000 die fibonacci zahlen berechnet auch wenn es vielleicht etwas komisch
- klingt weil er hier so was wie wurzel 5 drin vorkommen kann man sich erst mal schwer vorstellen dass da tatsächlich am ende immer natürliche zahlen bei
- rauskommen aber ich kann ihr versprechen es funktioniert und wir schauen uns auch noch mal ganz konkret dieses beispiel
- fibonacci zahlen folge an und zwar bei dem thema differenzen gleichungen wenn ich dir erkläre wie du aus dieser re kursiven darstellung von manchen
- zahlenfolgen auf die zugehörige explizite form kommen kannst und zwar rechnerisch aber dazu später mehr aber das größte mysterium von allen ich
- werd immer noch die folge der primzahlen bisher ist niemandem auch nur irgendein bildungsgesetz weder re kursiv noch explizit bekannt dass die folge der
- primzahlen vollständig abbilden kann viele behaupten sogar dass es so ein bildungsgesetz überhaupt nicht geben kann
- und vielleicht ist es auch besser so denn in der kryptographie basieren viele verschlüsselungstechniken genau auf dieser tatsache bevor sie gleich im
- nächsten video richtig los geht hier noch mal eine etwas gewöhnliches beispiel schauen wir mal diese folge von quadrat zahlen an 1 quadrat zwei quadrat
- drei quadrat vier quadrat und so weiter das heißt ganz offensichtlich ist das explizite bildungs und setzt gleich en quadrat zum beispiel das sechste glied
- dieser quadrat folge ist sechs quadratmeter und manchmal ist es besonders interessant herauszufinden was die zugehörige rekurse bildungs
- vorschrift ist denn da trägt manchmal besondere erkenntnisse zutage über die man sonst nicht gestolpert wäre lass uns das mal zusammen machen lasst
- uns so ein repressives bildungsgesetz aus dieser expliziten bildungs vorschrift herausfinden das einzige was wir brauchen ist der
- nachfolger den wir dann irgendwie in verbindung bringen müssen mit diesen vorgängen in hier ein entsteht wird auch hier ein quadrat wenn dort ein en plus 1
- dann wird auch hier ein en plus 1 quadrat und der trick ist jetzt diesen term solange umzuformen bis irgendwie ein quadrat zum vorschein kommt damit
- wir es danach im folgenden durch ihn ersetzen können das geht zum glück ziemlich einfach indem wir hier einfach nur diese
- komische formel auflösen wir sind als ein quadrat heißt es gleich es auch interessant eine quadrat zahl bekommen wir nämlich ganz einfach
- dadurch raus indem wir die vorhergehende quadrat teilnehmen +2 en plus eins und das ist immer eine ungerade zahl ok interessant wenngleich 1 ist also meine
- ersten quadrat zahl da müssen wir eine drei dazu addieren bei der zweiten quadrat zahlen müssen wie eine 5 dazu addieren und so weiter
- und so fort schau mal plus 3 + 5 + 7 + 9 + 11 das sind eben besondere erkenntnisse die nur dann zu tage kommen wenn man mal darüber nachdenkt und diese
- repressive und explizite bildungs vorschrift gegenüber setzt abgesehen davon dass eben auch so was mal eine prüfungs frage sein kann
- viel spaß damit auch ein bis zum nächsten video hey ich hoffe ich konnte gerade mit diesem video weiterhelfen wenn du dich zufällig demnächst auf eine
- mathe prüfung vorbereiten musste dann schau unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere online kurse von mir zur klausur vorbereitung
- verlinkt sollte man eines seiner themen nicht dabei sein dann schreibt man einfach eine mail und du erfährst als erstes wenn die kurse
- rauskommen wenn ihr das video weitergeholfen hat und du möchtest dass in zukunft weitere content erscheint dann erzählt einfach deinen kommilitonen
- deinen freunden und seiner familie von mir und abonnieren den kanal danke dir