Was ist eine Folge? rekursiv vs. explizit | Beispiele (arithmetisch, geometrisch, Fibonacci, Prim)
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=PY_i1FobbfU

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 eine zahlenfolge ist genau wie der name schon sagt einfach nur eine abfolge von zahlen meistens bezeichnet man sie mit buchstaben die abc oder xy und schreibt
0:09 tief gestellt so eine index zahl hin meistens eng für numbers die dann genau angibt um das wievielte glied dieser zahlen kette es sich handelt wenn man
0:17 jetzt zum beispiel definiert dass es sich bei ende 1 also bei uns hier bei a1 um das erste glied der zahlen kette handelt dann wäre art 2 das zweite geht
0:25 der zahlen kette a3 das dritte glied zahlen kette und so weiter und so fort in diesem video zeige ich dir die wichtigsten zahlen folgen die du kennen
0:32 sollte ist und was es mit der regressiven und expliziten darstellungsform auf sich hat los geht's fangen wir mal mit der zahlenfolge an
0:39 die wir schon als kinder als allererstes kennengelernt haben die folge der natürlichen zahlen 1 2 3 4 und so weiter die folge der natürlichen zahlen ist
0:47 eine arithmetische zahlenfolge das kannst du daran erkennen dass der abstand zweier benachbarter zahlen glieder immer konstant ist um jetzt von
0:55 dem ersten zahlen die auf das zweite zu kommen rechnen wir +1 und von dem zweiten auf das dritte zu complus 1 und von dem dritten auf das vierte zukommen
1:03 +1 immer wieder +1 um auf den zugehörigen nachfolger zu kommen und damit haben wir schon die erste darstellungsform unserer zahlenfolge
1:10 rausgefunden immer wenn du so ein muster erkennt wie man von einem folge glied auf den zugehörigen nachfolger kommt und dieses muster jetzt auch wirklich für
1:18 jedes einzelne glied dieser zahlenfolge funktioniert dann nennt man das die rekurse bildungs vorschrift schauen +1 ist der nachfolger von a m
1:27 erkennst du daran dass hier im index plus 1 gerechnet wird also in der kette der zahlenfolge werde jetzt genau 1 geht weiter gegangen und dieser nachfolger
1:35 berechnet sich genau wie wir gerade gesagt haben über den zugehörigen vorgänger +1 du musst immer aufpassen diese bildungs vorschrift hier hängt
1:44 nicht eindeutig mit unserem beispiel folgen natürlichen zahlen zusammen klar gilt das jetzt für diese folge der natürlichen zahlen dass hier die
1:52 repressive bildungs vorschrift ist aber ist es denn wirklich so dass jede zahlenfolge die diese gleichung hier erfüllt gleichen folge der natürlichen
2:01 zahlen ist nein das stimmt nicht zum beispiel hätten wir 1,5 2,5 3,5 4,5 dann würde sich diese folge ebenfalls durch diese region hier darstellen
2:12 es ist aber eine andere zahlenfolge als die dort steht das bedeutet für solche regressiven darstellungsformen brauchst du immer auch noch mindestens ein glied
2:20 der zahlenfolge klassiker ist dass man das erste glied an gibt also zb a1 gleich 1 jetzt funktioniert diese darstellungsform mit diesen sogenannten
2:31 anfangswert stellt jetzt eindeutig unser beispiel da die folge der natürlichen zahlen die revision ist zum beispiel ein
2:38 ziemlich beliebtes hilfsmittel in der informatik stell dir mal vor du möchtest von einer zahlenfolge alle glieder von a1 bis 100 berechnen dann fängst du mit
2:47 deinem vorgegebenen a1 an und kannst mit dieser ganz einfachen rechen anweisung den zugehörigen nachfolger ab 2 berechnen und mit derselben rechen
2:54 anweisung a3 a4 a5 usw bist du bei 100 bist da du sowieso alle glieder dieser zahlenfolge brauchst perfekt jetzt stell dir mal vor du
3:04 möchtest nur das 110 folge geriet berechnen dann bräuchte ist du wenn du mit dieser religionsformen ja arbeitest um das einhundertste folge wie zu
3:12 berechnen dem zugehörigen vorgänger das 99 folge glied und um das zu berechnen brauchst du wieder den zugehörigen vorgänger das 98 zufolge glied und so
3:20 weiter und so fort also um a 100 zu berechnen brauchst du alle 99 davor ebenfalls klar bei der folge der natürlichen zahlen ist das
3:29 jetzt vielleicht noch nicht so das große problem aber es gibt schon relativ einfache zahlen folgen bei denen selbst unser computer ins schwitzen gerät das
3:35 erkennst du dann daran dass vielleicht eine app langsamer funktioniert oder besonders viel akku frisst viel besser wäre es doch wenn wir eine knackige
3:42 formel hätten bei der wir einfach einen gleich 100 einsätzen und sofort das einhundertste folge glied hätten und manche zahlen folgen haben so was
3:51 das nennt sich dann nämlich die explizite bildungs vorschrift von unserer folge den natürlichen zahlen lässt sich die explizite bildungs
3:57 vorschrift relativ einfach erraten und zwar ist das nt glied der zahlenfolge gleich das erste glied der zahlenfolge ist gleich eins das vierte glied der
4:06 zahlenfolge ist gleich vier oder das einhundertste glied der zahlenfolge ist gleich 100 wichtig aber das hier bitte merkst dass nicht jede zahlenfolge eine
4:16 explizite darstellungsform hat es gibt sogar zahlenfolgen die haben nicht mal eine regressive und es gibt sogar zahlenfolgen die haben keine der beiden
4:24 darstellung dazu können wir gleich noch also nimm das bitte nicht als selbstverständlich an dass eine zahlenfolge auch wirklich
4:30 immer eine bildungs vorschrift hat ein wunderschönes beispiel für eine geometrische zahlenfolge mit denen du es zb in der zinseszins oder
4:36 wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun hast wäre ein einhalb ein viertel ein achtel und so weiter und so fort erkennst du vielleicht hier schon das
4:43 muster um von einem folge glied auf den zugehörigen nachfolger zu kommen wir müssen einfach nur rechnen mal eineinhalb mal eineinhalb mal eineinhalb
4:52 mal einhalt das heißt um jetzt auf den nachfolger ein plus eins zu irgendeinem folge glied zu kommen müssen wir dieses folge blieb nur mal ein halb rechnen
5:04 und wichtig noch das hier einen wert dieser zahlenfolge angeben nehmen wir zum beispiel mal diesen startpunkt und den möchte ich jetzt bitte a 001 nennen
5:13 also das ist das neueste folge glied das erste das zweite dritte und so weiter das ist gar nicht so unüblich du hast zb in viel programmiersprachen dass bei der
5:21 null angefangen wird zu zählen ich mache das jetzt nur deswegen weil dadurch die explizite darstellung sich ein bisschen schöner schreiben lässt und
5:28 weil es noch andere vorteile hat dazu aber später mehr also ich darf jetzt einfach das erste glied ist das neunte glied und wenn wir
5:35 das so machen dann lässt sich diese explizite form ganz einfach ausdrücken mit hilfe von einem halbhohen anfangen natürlich bei
5:43 allen gleich null wie das gerade gesagt haben wenn gleich null ist dann haben wir einen halbhoch 0 durch 1 1 halbhoch 1 1 halb zweieinhalb
5:51 drei tatsächlich das passt vielleicht erkennst du jetzt auch schon alleine an diesen beiden beispielen was arithmetische und geometrische
5:58 zahlenfolgen so besonders machen bei arithmetischen zahlen folgen rechnen wir immer plus oder minus eine konstante um von einem folge glied auf den
6:06 nachfolger zu kommen und bei geometrischen rechnen wir mal oder geteilt durch eine konstante um auf dem zugehörigen nachfolger zu kommen aber
6:13 auf arithmetische und geometrische zahlenfolgen gehen wir auch in den nächsten videos genauer ein die aber wahrscheinlich berühmteste aller zahlen
6:19 folgen die den aufbau des lebens beschreibt und all dessen was wir als schönes ästhetische empfinden ist die fibonacci zahlen folge immer wenn du
6:27 zwei aufeinander folgende zahlen glieder adidas dieser folge dann kommt der zugehörige nachfolger raus siehst du dass eins plus eins gleich 2 1 + 2
6:36 gleich drei 23 gleich 53 5 gleich acht und so weiter und so fort ich denke das problem dabei ist nur wenn du jetzt an einer expliziten darstellung
6:44 dieser zahlenfolge interessiert bist also wie man jetzt aus dieser rekurs even form auf genau diese formel kommt weil sie zum beispiel an der 1000
6:52 fibonacci zahlen interessiert bist und zwar ohne die 1999 davor ebenfalls zu berechnen und tatsächlich so ein vorne gibt es
7:00 wenn du einfach ein gleich 1000 einsetzt sagt hast du die 1000 die fibonacci zahlen berechnet auch wenn es vielleicht etwas komisch
7:06 klingt weil er hier so was wie wurzel 5 drin vorkommen kann man sich erst mal schwer vorstellen dass da tatsächlich am ende immer natürliche zahlen bei
7:14 rauskommen aber ich kann ihr versprechen es funktioniert und wir schauen uns auch noch mal ganz konkret dieses beispiel
7:20 fibonacci zahlen folge an und zwar bei dem thema differenzen gleichungen wenn ich dir erkläre wie du aus dieser re kursiven darstellung von manchen
7:28 zahlenfolgen auf die zugehörige explizite form kommen kannst und zwar rechnerisch aber dazu später mehr aber das größte mysterium von allen ich
7:35 werd immer noch die folge der primzahlen bisher ist niemandem auch nur irgendein bildungsgesetz weder re kursiv noch explizit bekannt dass die folge der
7:43 primzahlen vollständig abbilden kann viele behaupten sogar dass es so ein bildungsgesetz überhaupt nicht geben kann
7:49 und vielleicht ist es auch besser so denn in der kryptographie basieren viele verschlüsselungstechniken genau auf dieser tatsache bevor sie gleich im
7:57 nächsten video richtig los geht hier noch mal eine etwas gewöhnliches beispiel schauen wir mal diese folge von quadrat zahlen an 1 quadrat zwei quadrat
8:05 drei quadrat vier quadrat und so weiter das heißt ganz offensichtlich ist das explizite bildungs und setzt gleich en quadrat zum beispiel das sechste glied
8:14 dieser quadrat folge ist sechs quadratmeter und manchmal ist es besonders interessant herauszufinden was die zugehörige rekurse bildungs
8:24 vorschrift ist denn da trägt manchmal besondere erkenntnisse zutage über die man sonst nicht gestolpert wäre lass uns das mal zusammen machen lasst
8:31 uns so ein repressives bildungsgesetz aus dieser expliziten bildungs vorschrift herausfinden das einzige was wir brauchen ist der
8:39 nachfolger den wir dann irgendwie in verbindung bringen müssen mit diesen vorgängen in hier ein entsteht wird auch hier ein quadrat wenn dort ein en plus 1
8:50 dann wird auch hier ein en plus 1 quadrat und der trick ist jetzt diesen term solange umzuformen bis irgendwie ein quadrat zum vorschein kommt damit
9:01 wir es danach im folgenden durch ihn ersetzen können das geht zum glück ziemlich einfach indem wir hier einfach nur diese
9:06 komische formel auflösen wir sind als ein quadrat heißt es gleich es auch interessant eine quadrat zahl bekommen wir nämlich ganz einfach
9:15 dadurch raus indem wir die vorhergehende quadrat teilnehmen +2 en plus eins und das ist immer eine ungerade zahl ok interessant wenngleich 1 ist also meine
9:29 ersten quadrat zahl da müssen wir eine drei dazu addieren bei der zweiten quadrat zahlen müssen wie eine 5 dazu addieren und so weiter
9:35 und so fort schau mal plus 3 + 5 + 7 + 9 + 11 das sind eben besondere erkenntnisse die nur dann zu tage kommen wenn man mal darüber nachdenkt und diese
9:47 repressive und explizite bildungs vorschrift gegenüber setzt abgesehen davon dass eben auch so was mal eine prüfungs frage sein kann
9:53 viel spaß damit auch ein bis zum nächsten video hey ich hoffe ich konnte gerade mit diesem video weiterhelfen wenn du dich zufällig demnächst auf eine
9:59 mathe prüfung vorbereiten musste dann schau unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere online kurse von mir zur klausur vorbereitung
10:06 verlinkt sollte man eines seiner themen nicht dabei sein dann schreibt man einfach eine mail und du erfährst als erstes wenn die kurse
10:12 rauskommen wenn ihr das video weitergeholfen hat und du möchtest dass in zukunft weitere content erscheint dann erzählt einfach deinen kommilitonen
10:19 deinen freunden und seiner familie von mir und abonnieren den kanal danke dir