Mittlere & momentane Änderungsrate (Wachstum) | Klassische Klausuraufgabe einfach erklärt
Mathefüchsin
https://www.youtube.com/watch?v=NqqGK9tnayw

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Hallo, ich begrüße euch zu einem neuen Video aus der Differentialrechnung. Und zwar möchte ich mit euch gemeinsam diese Aufgabe hier, die ein bisschen
0:06 umfangreicher ist, gemeinsam rechnen. Es ist so eine klassische Klausuraufgabe aus der elfen Klasse. Wenn euch das interessiert, gehen wir die jetzt
0:13 gemeinsam Schritt für Schritt durch. Es handelt sich um das Wachstum einer Sonnenblume. Die Höhe in Zentimetern wird in Abhängigkeit von der Zeit t in
0:23 Tagen seit Beobachtungsbeginn beschrieben durch diese Funktionsgleichung. Wir starten mit der ersten Aufgabe. Bestimmen Sie mit Hilfe
0:31 des Grafens, in welchem Intervall die Funktion sinnvolle Werte für die Höhe der Sonnenblume liefert. Also, es geht ja um das Wachstum der Sonnenblume. Hier
0:40 haben wir jetzt einmal auf der y-Achse die Höhe in Zentimetern der Sonnenblume und auf der X-Achse die Zeit in Tagen. Und das ist der grafische Verlauf. Und
0:53 nicht alles macht Sinn. Erstmal negative Zeiten, also Minuszeit. Hier ist Untersuchungsbeginn. Negative x-Werte bzw. t-Werte sind also die können wir
1:02 schon mal streichen. Genauso wie diesem Bereich. Der ist ja auch negativ. Es macht schon mal am Sachzusammenhang gar keinen Sinn. Wenn wir uns das jetzt
1:09 anschauen, also das ist Untersuchungsbeginn, hat die Sonnenblume eine Höhe von 20 cm. Das sehen wir hier an der Zahl ohne X.
1:18 Das ist also praktisch unsere erste Intervallgrenze. Vorher negative Bereich macht eben keinen Sinn. Dann wächst die Pflanze,
1:25 wächst, wächst, wächst bis hier oben. Da ist dann praktisch die maximale Höhe erreicht und ab hier würde sie wieder schrumpfen. Aber das macht im
1:34 Sachzusammenhang ja keinen Sinn, dass die Pflanze wieder schrumpft. Und da haben wir jetzt unsere obere Intervallgrenze, zumindestens im
1:41 sinnvollen Sachzusammenhang. Wir haben jetzt das Glück, wir dürfen das Ganze jetzt grafisch bestimmen, dieses Intervall. Ich markiere mir das
1:48 Intervall jetzt auf der T-Achse, also auf der X-Achse sozusagen. Also um dieses Intervall geht's. Und da könnte man jetzt auch von einem sinnvollen
1:56 Definitionsbereich sprechen. Der Definitionsbereich, der sagt eben, welche x-Werte, also diese, in dem Fall t-Werte darf ich in diese Funktion
2:06 einsetzen. Wenn ihr das einfach als Intervall aufschreiben dürft, dann nehmt ihr jetzt eben einfach d für Definitionsbereich und dann gibt ihr
2:13 eben an von 0 bis, ich sage jetzt mal 8,4 Intervall von 0 bis 8,4. Wenn ihr das Ganze ein bisschen mathematischer aufschreiben müsst, das
2:22 kann ja auch sein, da gibt's aber auch noch andere Schreibweisen, dann könnte das auch so aussehen. Also t, unser t Element der reellen Zahlen. So und jetzt
2:31 geben wir das Intervall an. Das t befindet sich praktisch zwischen 0 und 8,4. Übersetzt ist, dass t größer = 0 bzw.
2:41 kleiner = 8,4. Wir hatten jetzt ja das Glück, dass wir das Ganze grafisch bestimmen durften, aber wenn ihr das Ganze berechnen müsstet, also wenn ihr
2:50 jetzt die Stelle berechnen müsstet mit 8,4, wie würdet ihr das machen? Hier befindet sich ja der Hochpunkt von der Funktionsgleichung und dafür müsst ihr
2:58 jetzt wissen, was ist das Besondere an soem Hochpunkt? Das Besondere an dem Hochpunkt ist seine Steigung. So, was für eine Steigung hat er? Wir haben hier
3:05 eine wagerechte Tangente. Das bedeutet, er hat die Steigung null. Und womit berechnen wir die Steigung? Mit der ersten Ableitung. Das heißt, wenn ihr
3:13 das Ganze jetzt berechnen müsstet, würdet ihr eben die erste Ableitung von t bilden und diese dann null setzen, also die Nullstellen der ersten
3:21 Ableitung ausrechnen. So, aber wir durften das ja jetzt Gott sei Dank grafisch bestimmen und deswegen sind wir mit dieser Aufgabe jetzt fertig und
3:28 können uns um die nächste Aufgabe kümmern. So, die Aufgabe lautet: Wie ist die Sonne zu Beginn und zwei Tage nach Beobachtungsbeginn. Wir haben jetzt hier
3:36 zwei Zeitpunkte gegeben. Das heißt jetzt, wir fangen mal mit Beginn an. zu beginnen, was für ein Zeitpunkt haben wir? Da haben wir Zeitpunkt t = 0. So.
3:44 Und das Schöne ist, wenn die Funktionsgleichung hier so gegeben ist, dann könnt ihr den ganz einfach ablesen, diesen Zeitpunkt. Wir haben das eben
3:51 schon im Intervall gesehen. Das ist der Schnittpunkt mit der y-Achse und den könnt ihr einfach ablesen. Das ist die Zahl ohne x. Aber meistens muss man das
4:00 ja noch bestimmen bzw. rechnerisch zeigen. Das heißt, gewöhnt euch das direkt an. Also, wir haben t = 0. Wir setzen für t einfach 0 ein. T von 0
4:12 = und dann für jedes t eben die 0 einsetzen. Und da einfach alles mal 0 ist, ist das ganze hier 0 und es bleibt übrig. H von
4:24 0 = 20 cm. Also zu Beginn war unsere Pflanze 20 cm groß. Das ganze sehen wir auch hier dran, aber man muss das natürlich auch noch irgendwie
4:35 rechnerisch zeigen und das macht ihr dann eben, indem ihr für t = 0 einsetzt. Und natürlich nicht den Antwortsatz vergessen. Dann schauen wir uns jetzt
4:42 die zweite Aufgabe an. Das ist t = 2. Wir ersetzen jetzt einfach in unserer Funktionsgleichung hier oben jedes t durch die 2 auch hier vorne.
4:57 Das lässt sich Gott sei Dank schnell ausrechnen. Wir haben hier einen ungeraden Exponenten, das heißt, dass Minus bleibt. Beim geraden Exponenten
5:04 würde es plus werden, aber ungrader Exponent das Minus bleibt. Und jetzt müssen wir nur noch 2 hoch 3 rechnen. 2 x 2* 2 x 2= 4* 2= 8. Also -8 + Wir haben
5:15 ja 2²= 4. 4* 12= 48 9* 2= 18 + die 20 -8 + 48= 40 + 18 sind 58 + 20 sind 78. Also am zweiten Tag hat die Pflanze eine Höhe
5:34 von 78 cm und dann war's das auch schon. C Berechnen Sie die durchschnittliche bzw. diese mittlere Wachstumsgeschwindigkeit
5:44 im Intervall 1 bis 3. Ich markiere mir mal das Intervall, dieses kleine Intervall. Hierum handelt es sich um das Intervall 1 bis 3. Wir wollen die
5:55 mittlere Wachstumsgeschwindigkeit bzw. durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen. Also die durchschnittliche mittlere
6:02 Änderungsrate. Was ist das? Das ist diese Kantensteigung in einem Intervall. Vielleicht erinnert ihr euch. Das heißt, es geht jetzt um eine Sekante, die durch
6:13 diese beiden Punkte verläuft. Also eine Sekante ist ja eine gerade und die Sekantensteigung ist dann die durchschnittliche Geschwindigkeit, die
6:22 durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in diesem Intervall. Und womit berechnen wir das Ganze? Das berechnen wir mit dem
6:28 Differenzenkurzchen. Den schauen wir uns jetzt gemeinsam an. So, ich habe uns die Funktionsgleichung hier noch mal aufgeschrieben. Das Intervall, um das es
6:35 geht. Der Differenzenquotient, das ist unsere Sekantensteigung. Steigung ist praktisch Delta y durch Delta X. Das war übersetzt y2 - y1
6:48 x2 - x1. Das konnte man jetzt aber auch noch anders aufschreiben in f(x) - f von x0 x - x0 und was habe ich jetzt aufgeschrieben vom Prinzip her? ist,
7:00 dass sie die ganz normale Formel, wie wir die Steigung zwischen zwei Punkten bestimmen können und zwar zwischen diesen beiden Punkten hier von einer
7:09 Geraden. Das hier ist Delta Y und das ist Delta X. Und wenn wir die durcheinander teilen, dann haben wir diese Kantensteigung bestimmt. Also ganz
7:18 normale Berechnung der Steigung einer Geraden. Und was brauchen wir dafür? Wir brauchen zwei Punkte. Wir haben jetzt hier jeweils x-Werte immer die Stellen,
7:26 also Stelle 1 und Stelle 2. Das hier ist x1 und das ist x2. Dazu brauchen wir jetzt, wie ihr seht, jeweils die Y Koordinaten, also wir brauchen die
7:35 Punkte. Bis jetzt haben wir nur Punkt 1 die X-Koordinate, uns fehlt die Y Koordinate und Punkt 2 ebenso. Und das ist jetzt unser nächster Schritt. Wir
7:47 bestimmen die passenden Y Werte. So, ich habe euch das jetzt noch mal aufgeschrieben. Wir wollen also die y Koordinaten bestimmt zu unserem
7:54 gegebenen x Werten. Das ist unsere Ausgangsfunktion, die gegeben ist. Wie mache ich das jetzt? Wie bestimme ich y Koordinaten? Ich setze einfach die
8:02 x-Werte jeweils, also in dem Fall sind es ja nicht die x-Werte, sondern t, t1 und t2. Das heißt, um jetzt meinen ersten Punkt zu finden, setze ich jetzt
8:12 die 1 jeweils hier fürs t ein. -1 hoch 3= -1 1 zum ² 1* 12= 12 9* 1= 9 + 20 alles zusamm 11 20 40 und damit haben
8:31 wir auch schon unseren ersten Punkt gefunden. Also Punkt 1 hat die Koordinaten 1 und 40. Gut, dann haben wir jetzt
8:40 unseren ersten Punkt gefunden. Jetzt brauchen wir natürlich noch unseren zweiten Punkt. Das heißt, ich setze jetzt einfach die drei wieder für unsere
8:45 Ts ein und bestimmen das Ganze dann so, wir haben wieder einen ungeraden Exponenten, also bleibt das minus und 3
8:57 hoch 3 x 3= 9* 3= 27, also -27 + 3²= 9 und 9* 12= 108 9* 3= 27 + die 20 so die 27 heben sich auf, Also 108 + 20 sind 128. Dann haben wir unseren zweiten
9:17 Punkt auch gefunden. Das heißt, nach 3 Tagen hat unsere Sonnenblume eine Höhe von 128 cm erreicht. So, warum haben wir das noch mal gemacht mit diesen beiden
9:28 Punkten? Genau, wegen dem Differenzenkurtient und da müssen wir jetzt wieder hin. Ich habe uns das hier jetzt noch mal alles aufgeschrieben. Das
9:34 hier war unsere Ausgangsfunktion, unsere frisch gefundenen Punkte, den Differenzenquotient, den wir eben schon mal, also damit berechnen wir die
9:42 Steigung der Sekante. Und das machen wir jetzt. Also, wir haben jetzt hier praktisch den Punkt 2 und das hier ist der Punkt 1. Die brauchen wir jetzt
9:50 einfach nur einsetzen. Also, ich nehme jetzt den Punkt und setze ihn eben hier ein. Das hier ist die y-koordinate, das ist die x-Koordinate
9:58 dem ersten Punkt. Also y war 40 und x ist 1, das sind 88 dur und das sind 44
10:10 und das sind dann pro Tag. Die Sonnenblume wächst zwischen dem ersten und dem dritten Tag im Durchschnitt 44 cm pro Tag. So, das war
10:23 schon die Aufgabe. Wir können uns die nächste direkt mal anschauen. Also, die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie h str 4. Was bedeutet dieser Wert im
10:31 Sachzusammenhang? Okay, also h str 4 er h str was ist das? Das ist die erste Ableitung.
10:40 Das bedeutet für uns jetzt natürlich erstmal, wir müssen die erste Ableitung bilden. H str, also ich bilde die erste Ableitung,
10:48 indem ich den Exponenten nach vorne multipliziere. Das ist dann -3 und jetzt vom Exponenten ein abziehe, das ist dann hoch 2. Also t hoch 2 gleich hier vorne.
10:59 Ich multipliziere die 2 nach vorne. 12* 2= 24 und ziehe jetzt vom Exponenten ein ab. Das ist dann hoch 1 und hoch 1, das können wir so stehen lassen. Also
11:09 einfach 24t hier habe ich t hoch 1. Wenn ich den 1 x 9 bleibt wie es ist, also + 9. Jetzt habe ich hier t hoch 1. Wenn ich davon einen abziehe, habe ich hier t
11:20 hoch 0, also 9* 1 und 9 x 1= 9. Also fällt das t komplett weg. Und am Ende habe ich jetzt eine Konstante, also eine Zahl ohne t bzw. ohne x und die fällt
11:32 beim ableiten e weg. So, das hier ist jetzt also unsere Ableitung und wir sollen jetzt in unsere erste Ableitung die vier einsetzen und den Wert
11:41 bestimmen. Das machen wir. Also, ich setze jetzt in die Ableitung die 4 ein. Für jedes T ersetze ich jetzt die vier. So. Und wenn ich das jetzt alles
11:48 ausrechne, kommt da 57 bei raus. Das ist jetzt bestimmt sie h str 4. Was bedeutet das Ganze denn jetzt im Sachzusammenhang?
11:57 Die erste Ableitung ist die Steigung. Im Sachzusammenhang ist das immer die momentane Änderungsrate. In unserem Fall, wir haben die Höhe in Zentimetern
12:06 und Zeitpunkt t in Tagen und die Kombination daraus ist dann Zentimeter pro Tag. Das ist also unsere Maßeinheit Zentimeter pro Tag. Und im
12:18 Sachzusammenhang bedeutet das jetzt, also wenn wir da jetzt ein Antwortsatz formulieren wollen, die momentane Wachstumsgeschwindigkeit der Sonnenblume
12:25 beträgt an Tag 4 57 cm pro Tag. Also, dieser Slash heißt übrigens, könnt ihr mit Pro übersetzen, nur so als kleine Hintergrundinfo.
12:37 Gut, dann können wir uns jetzt die letzte Aufgabe anschauen. Nennen Sie zwei Zeitpunkte, an denen die Sonnenblume schneller wächst als am Tag
12:46 2. Hier habe ich noch mal unsere Ausgangsfunktion, unsere erste Ableitung, die wir gerade gefunden haben, womit wir die
12:52 Wachstumsgeschwindigkeit, also die Steigung ist in dem Fall die Wachstumsgeschwindigkeit der Sonnenblume bestimmen können. So, wir wollen jetzt
12:59 wissen, also an welch zu welchen Zeitpunkten ist die Wachstumsgeschwindigkeit der Sonnenblume schneller als an Takt 2.
13:06 Das heißt, wir müssen jetzt als ersten Schritt erstmal herausfinden, wie schnell war denn unsere Sonnenblume überhaupt bzw. wie schnell ist die
13:13 Sonnenblume denn überhaupt an Tag 2 gewachsen? Das machen wir, indem wir jetzt einfach in unsere erste Ableitung die zwei einsetzen. Und wenn ich das
13:22 jetzt ausrechne, kommt da eben 45 cm pro Tag raus. Also hat eine Wachstumsgeschwindigkeit von 25 cm pro Tag. Also was suchen wir jetzt? Wir
13:31 suchen jetzt Wachstumsgeschwindigkeiten, die größer sind als 45 cm pro Tag. So, und wie finden wir das Ganze jetzt raus? Ganz einfach mit einer
13:43 Tabelle. Wir schauen uns das mal an. So, jetzt gebe ich hier ganz einfach meine erste Ableitung ein. Also -3 x zum
13:54 oder t zum Quadrat + 24 t + 9. Und lass mir dazu jetzt eben eine Tabelle anzeigen, denn seht ihr hier jetzt schon am Tag 2 haben wir eine
14:07 Wachstumsgeschwindigkeit von 45. Am ersten Tag sind wir drunter, am dritten Tag sind wir drüber, am vierten Tag sind wir drüber, am fünften
14:16 Tag sind wir auch drüber und dann geht sie eben wieder runter, die Wachstumsgeschwindigkeit. Also, da sind wir wieder bei 45. Wir haben also drei
14:23 Lösungen. Wir haben einmal Tag 3, Tag 4 und Tag 5. Da ist die Wachstumsgeschwindigkeit höher als 25 cm pro Tag. Und wir brauchen ja aber nur
14:34 zwei Werte. Das heiß dürft ihr euch jetzt welche aussuchen. Ich nehme dann eben Tag 3 und 4. Dann braucht ihr natürlich noch einen passenden
14:40 Antwortsatz. Am dritten und am vierten Tag wächst die Sonnenblume schneller als am zweiten Tag. So und das war's schon. Ich hoffe, ihr habt alles verstanden.
14:49 Bei Fragen, schreibt mir gerne in die Kommentare bzw. falls euch das Video geholfen hat oder gefallen hat, dann lasst auch einen Daumen nach oben da
14:55 bzw. ein freundlichen Kommentar. Da freue ich mich auch immer wirklich sehr drüber. Ansonsten freue ich mich natürlich, wenn wir uns wiedersehen.