Spatprodukt (Definition)
FH Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=BO1WIedhoWk

Transkript (automatisch erstellt)

0:01 [Musik] heute geht es um das Sparprodukt dem spartprodukt Dreier
0:16 Vektoren a b c versteht man die Zahl a b mal C also das tut man man multipliziert die beiden Vektoren a Kreuz B miteinander also das
0:33 Vektorprodukt der beiden Vektoren A und B und dann multipliziert man den Vektor der da bei entsteht mit Hilfe des skalarprodukts
0:47 mit einem weiteren Vektor C dabei entsteht natürlich dann eine Zahl was soll diese seltsame Multiplikation und was
0:58 hat es mit einem sp ab zuutun es ist überhaupt ein Spark also hier haben wir das Bild eines spars das ist ein sogenanntes Prisma mit einem
1:11 Parallelogramm als Grundfläche Prisma ist ja einfach ein NCK z.B ein Viereck oder Parallelogramm dann wird eben diese odenfläche parallel
1:25 irgendwie verschoben dann spricht man von einem Prisma so ein Dreieck Viereck Fünfeck als Boden und den Beil verschoben sowas nennt man
1:37 Prisma und hier haben wir den Spezialfall dass wir hier ein Parallelogramm haben als Bodenfläche dann spricht man hier von einem spart so
1:48 man kann sich jetzt dieses aufgespannt Denken durch die Vektoren A B und C ich habe drei Vektoren a b und c dürfen aber nicht in
2:00 einer Ebene sein man sagt auch die Vektoren sind nicht komplanar dann spannen die hier ein dreidimensionales Gebilde auf nämlich
2:12 einen spart und nun ist die Frage was hat diese Zahl die hier steht a K B mal C mit dem Spar zu tun ganz einfach es hat was mit dem Volumen scharz zu tun
2:30 und das sehen wir hier gleich ja Volumen des schwarz mal hier ausrechnen das Volumen des sparz wä ja
2:41 Grundfläche mal Höhe das ist die allgemeine Formel für ein Prisma Grundfläche mal Höhe und die Grundfläche ist ja die Fläche des Parallelogramms
2:54 und das wissen wir vom Vektorprodukt das ist der Betrag von A B denn wir sehen ja das spart hat ja Grundfläche a kuz B oder wird durch
3:11 die Vektoren das quramm der Grundfläche wird durch die Vektoren A und B aufgespannt und wir haben gelernt dass ja das Vektorprodukt so definiert ist
3:23 dass eben der Betrag von A KZ B genau den flächenhalt des Parallelogramms ergibt MS wir nur noch mit dieser Höhe
3:34 multiplizieren wenn wir uns das jetzt angucken die Höhe ist genau wie ich es eingzeigt Strecke hier und wir haben hier
3:43 ein rechtwinkliches Dreieck wir haben hier einen winkel f der eingeschlossen wird von dem Vektor C und dem Vektor grün
3:56 gezeichnet a Kre B heißt könnten ja jetzt folgendes machen wir können nicht diese Höhe hier ausrechnen über den Cosinus nämlich nichts anderes
4:08 ist die Ankathete cos P ist Ankathete also Höhe geteilt durch die Hypotenuse das W die Länge von C also die Höhe
4:22 h kann ersetzt werden durch Betrag C mal Cosinus F aber das ist genau die Definition des skalarprodukts ich habe hier einen Vektor ich multipliziere die
4:37 beiden Beträge mal dem eingeschlossenen Winkel vi war ja der eingeschlossene Winkel des Vektors a kuz B mit dem
4:50 Vektor C wir gehen davon aus mal dass hier F Z 090° liegt weil dann ist Jen Fall das Skalarprodukt größer Null größer gleich 0 be 90° ja
5:07 0 und dann K wir hier auch kin 4 schreiben und das Volumen ist auch eine positive Zahl son h ja ein negatives Volumen
5:20 wenn das skalarpunkt Negativ wä das heißt wenn viel größer 90° ist dann den wir hier eine negative Zahl Volumen ist aber keine negative Zahl dann müsste man
5:35 hier eben den Betrag setz Betrag Cosinus V also bekommt man für das Volumen insgesamt Betrag von A B mal C so hat man dann alle Winkel zwischen 0 und 180°
5:53 abgedeckt also das Sparprodukt heißt deshalb Sparprodukt weil es eben eine Maßzahl für das Volumen eines sparz
6:03 ist Z ist der Betrag des dieser Zahl Betrag des sparprodukts okay jetzt noch eine wichtige Tatsache
6:15 in dieser Formel a b mal C darf man ABC zyklisch vertauschen was heißt es zyklisch vertauschen also das heißt ich kann hier folgendes machen
6:30 ich kann jetzt hier C hier vorne hinsetzen und dann rutschen A und B entsprechend hier nach rechts und so geht es dann im Kreis also wir machen
6:43 das mal dann kriegen wir einmal C Kreuz a wir wissen ja das ist nicht kommutativ ich kann nicht A und B vertausen K Minuszeichen mal e so kann ich wieder
6:58 zyklisch tauschen kommt das B hier vorne hin B kuz C mal a so aber das Skalarprodukt
7:14 ist kommutativ also das könnte man auch schreiben als a mal e C liegt da dran weil das Skalarprodukt
7:28 kommutativ ist das heißt anstelle von A K B mal C könnte man auch a mal B K C schreiben so hab hier noch schöne Striche
7:41 drunter hier auch noch eine schöne Formel ich kann zuerst B Kreuz C bilden und dann mal a nehmen das spielt keine Rolle beides beschreibt sozusagen das
7:55 Volumen eines sogenannten sparz