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Topologische Konjugation
Von topologischer Konjugation spricht man in der Mathematik, wenn es einen Homöomorphismus gibt, der eine stetige Abbildung zu einer anderen konjugiert.
Inhalt4 Abschnitte
Grundidee und Definition
Topologische Konjugation beschreibt eine Beziehung zwischen stetigen Abbildungen und ist besonders für die Analyse dynamischer Systeme, vor allem diskreter Systeme, bedeutsam. Zwei Abbildungen gelten dabei als unterschiedliche Darstellungen desselben dynamischen Verhaltens.
Seien X und Y metrische Räume sowie f: X → X und g: Y → Y stetige Abbildungen. Sie heißen topologisch konjugiert, wenn ein Homöomorphismus h: X → Y existiert, also eine bijektive stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung, für den gilt:
h ∘ f = g ∘ h.
Die Abbildung h ordnet die Punkte und ihre Entwicklung in beiden Systemen eindeutig und stetig einander zu. Ist h dagegen nur stetig und surjektiv, spricht man von topologischer Semikonjugation von g und f.
Konjugation bei Flüssen
Für Flüsse gilt dieselbe Idee. Zwei Flüsse φ auf X und ψ auf Y sind topologisch konjugiert, wenn ein Homöomorphismus h: Y → X existiert, sodass
φ(h(y), t) = hψ(y, t) für alle t ∈ ℝ.
Ersetzt man den Homöomorphismus durch eine stetige surjektive Abbildung, spricht man von topologischer Semikonjugation.
Invarianten und dynamische Folgen
Topologische Konjugation kann als eine Art Koordinatentransformation verstanden werden. Eigenschaften einer Abbildung, die dabei erhalten bleiben, heißen topologische Invarianten.
Aus der Definition folgt:
f = h⁻¹ ∘ g ∘ h und fⁿ = h⁻¹ ∘ gⁿ ∘ h.
Daher werden die Orbits, also die Folgen der aufeinanderfolgenden Iterationen eines Punktes, auf Orbits des jeweils anderen Systems abgebildet. Periodische Orbits entsprechen wieder periodischen Orbits; nichtperiodische Orbits entsprechen nichtperiodischen Orbits.
Besonders wichtig ist, dass auch Chaos eine topologische Invariante ist: Für topologisch konjugierte Abbildungen f: X → X und g: Y → Y gilt, dass f genau dann chaotisch ist, wenn g chaotisch ist. Weitere erhaltene Eigenschaften sind topologische Transitivität, sensitive Abhängigkeit von den Anfangswerten und die topologische Entropie.
Beispiel: logistische Abbildung
Die logistische Abbildung ist definiert durch
Gᵣ: ℝ → ℝ, x ↦ ᵣx(1 − x).
Mithilfe topologischer Konjugation lässt sich zeigen, dass Gᵣ für Parameterwerte r > 2 + √5 auf einer Cantormenge chaotisch operiert. Diese Menge wird induktiv festgelegt:
A₀ = {x ∈ [0,1] | Gᵣ(x) > 1},
Aₙ = {x ∈ [0,1] | Gᵣⁱ(x) ∈ Aᵢ₋₁ für alle i = 1,…,n},
und
A = [0,1] \ (⋃ₙ₌₀^∞ Aₙ).
Damit dient die logistische Abbildung als Beispiel dafür, wie topologische Konjugation chaotisches Verhalten auf einer speziell bestimmten invarianten Menge nachweisen kann.