Ramanujan-Primzahl

Definition und Bedeutung

Ramanujan-Primzahlen sind besondere Primzahlen. Die n-te Ramanujan-Primzahl R_n ist die kleinste Zahl, ab der in jedem Intervall von x/2 bis x mindestens n Primzahlen liegen. Sie verallgemeinern damit das Bertrandsche Postulat: Für jedes x ≥ 1 liegt zwischen x und 2x mindestens eine Primzahl. Dieser Fall entspricht n = 1 und R_1 = 2.

Mit der Primzahlfunktion π(x), die die Anzahl der Primzahlen ≤ x angibt, lautet die genaue Definition: π(x) − π(x/2) ≥ n für alle x ≥ R_n.

Für jedes n existiert eine solche Zahl R_n. Da π(x) − π(x/2) nur an einer Primzahlstelle x wachsen kann, ist R_n selbst eine Primzahl. An ihr gilt genau: π(R_n) − π(R_n/2) = n.

Folge und Existenz

Die Folge beginnt mit: 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, …

Ramanujan bewies die Existenz mithilfe der Ungleichung π(x) − π(x/2) > (1/log x) · (x/6 − 3√x) für x > 300. Die rechte Seite wächst für x → ∞ monoton gegen Unendlich. Daher kann die Anzahl der Primzahlen im Intervall von x/2 bis x für hinreichend große x jede vorgegebene Zahl n erreichen und anschließend nicht mehr dauerhaft darunter fallen.

Abschätzungen und Beispiel

Für jedes n ≥ 1 gilt mit dem natürlichen Logarithmus ln: 2n ln(2n) < R_n < 4n ln(4n).

Bezeichnet p_n die n-te Primzahl, so gilt für n ≥ 2: p_{2n} < R_n < p_{3n}. Außerdem gilt asymptotisch, also für sehr große n: R_n ∼ p_{2n} und damit nach dem Primzahlsatz R_n ∼ 2n ln(2n).

Ein Beispiel ist R_2 = 11: Ab x = 11 befinden sich stets mindestens zwei Primzahlen zwischen x/2 und x. Bei x = 11 sind dies genau zwei, denn π(11) = 5 und π(11/2) = π(5,5) = 3; also ist π(11) − π(5,5) = 2. Dagegen ist die Bedingung für zwei Primzahlen vor 11 noch nicht dauerhaft erfüllt.