Nichtklassische Logik

Grundidee und Bedeutung

Nichtklassische Logiken sind formale Systeme, die sich deutlich von klassischen Logiksystemen wie Aussagenlogik und Prädikatenlogik unterscheiden. Sie verändern, erweitern oder ersetzen bestimmte Grundgesetze und Prinzipien, die in der klassischen Logik als selbstverständlich gelten.

Ihr Ziel ist es, unterschiedliche Formen des logischen Schließens und verschiedene Auffassungen logischer Wahrheit darzustellen. Eine nichtklassische Logik kann beispielsweise andere Regeln für den Umgang mit Widersprüchen verwenden, Wahrheit an Beweisbarkeit binden oder zusätzliche logische Operatoren einführen.

Umgang mit Widersprüchen

Parakonsistente Logiken sind formale Systeme, in denen der Grundsatz ex contradictione sequitur quodlibet nicht gilt. Dieser lateinische Ausdruck bedeutet „aus einem Widerspruch folgt Beliebiges“.

In der klassischen Logik lässt sich nach diesem Grundsatz aus den widersprüchlichen Aussagen A und ¬A beziehungsweise aus A ∧ ¬A jede beliebige Aussage herleiten. Eine parakonsistente Logik lässt diesen Schluss nicht zu. Ein vorhandener Widerspruch führt daher nicht automatisch dazu, dass jede Aussage beweisbar wird.

Wahrheit und Beweisbarkeit

Die intuitionistische Logik verwendet einen anderen Wahrheitsbegriff als die klassische Logik. In der klassischen Logik wird A ∨ B wahrheitsfunktional als „A trifft zu, oder B trifft zu“ verstanden. In der intuitionistischen Logik bedeutet dieselbe Formel dagegen: „Es gibt einen Beweis für A, oder es gibt einen Beweis für B.“ Die Zeichen wie ∨ und ¬ heißen Junktoren oder Konnektive; sie verbinden oder verändern Aussagen.

Wegen dieser unterschiedlichen Interpretation sind bestimmte klassische Theoreme intuitionistisch nicht gültig. Ein wichtiges Beispiel ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten A ∨ ¬A. Klassisch bedeutet er: „A trifft zu, oder A trifft nicht zu.“ Intuitionistisch müsste dagegen gelten: „A ist bewiesen, oder A ist widerlegt.“ Das ist nicht allgemein gültig, weil es Aussagen gibt, die weder bewiesen noch widerlegt sind, sowie Aussagen, die überhaupt weder beweisbar noch widerlegbar sind.

Erweiterungen klassischer Systeme

Ein besonderer Typ nichtklassischer Logiken erweitert die klassische Logik um zusätzliche logische Operatoren. In der Modallogik wird beispielsweise das Zeichen □ verwendet. Es steht für „Es ist notwendig, dass …“.

Für eine solche Erweiterung gelten zwei Merkmale:

• Die Menge der wohlformulierten Formeln, also der nach den Bildungsregeln zulässigen Ausdrücke, ist eine echte Obermenge der von der klassischen Logik erzeugten Ausdrücke. Sie enthält damit alle klassischen Ausdrücke und zusätzlich neue.

• Die Menge der beweisbaren Theoreme ist eine echte Obermenge der klassischen Theoreme. Das gilt jedoch nur in dem Sinn, dass die zusätzlichen Theoreme auf der Bildung der neuen Ausdrücke beruhen.

Wichtige Klassen

Zu den wichtigen Klassen nichtklassischer Logiken gehören:

• mehrwertige Logik • Fuzzylogik • intuitionistische Logik • Quantenlogik • Modallogik • intensionale Logiken • deontische Logik • parakonsistente Logik • lineare Logik • Relevanzlogik • nichtmonotone Logik • temporale Logik • Interrogativlogik

Die lineare Logik wird dabei als Verfeinerung der klassischen und der intuitionistischen Logik bezeichnet. Die Aufzählung zeigt, dass nichtklassische Systeme auf unterschiedliche Weise von der klassischen Logik abweichen können: Einige verändern klassische Prinzipien, während andere die Ausdrucksmöglichkeiten des Systems erweitern.