Drachenkurve

Grundidee und Aufbau

Die Drachenkurve ist ein fraktales Objekt. Sie wird, ähnlich wie die Koch-Kurve und die Hilbert-Kurve, durch Ersetzung erzeugt. Ihre Konstruktion beruht auf einer Folge von 90°-Winkeln und kann anschaulich durch das Falten eines Papierstreifens nachvollzogen werden.

Für die Faltanleitung nimmt man einen Papierstreifen und faltet ihn in der Mitte, sodass sich seine Länge halbiert. Dies wiederholt man beliebig oft; dabei wird jedes Mal in dieselbe Richtung gefaltet. Anschließend faltet man das Papier wieder auseinander und ordnet es so an, dass die Innenwinkel der Falze immer 90° betragen. Die entstandene Folge aus Strecken und rechtwinkligen Richtungsänderungen bildet eine Drachenkurve.

Beschreibung als Lindenmayer-System

Die Drachenkurve lässt sich durch ein Lindenmayer-System beschreiben. Ein Lindenmayer-System ist ein Ersetzungsverfahren, bei dem Zeichen eines Startstrings nach festgelegten Regeln schrittweise durch andere Zeichenfolgen ersetzt werden.

Für die Drachenkurve gelten folgende Eigenschaften:

• Winkel: 90°
• Terminale: F+-
• Variablen: XY
• Startstring: FX
• Ableitungsregeln: X ↦ X+YF+ und Y ↦ -FX-Y

F bedeutet, dass eine neue Strecke entlang der aktuellen „Blickrichtung“ gezeichnet wird. Plus und Minus stehen für eine Drehung um 90°: Plus bezeichnet eine Drehung im Uhrzeigersinn, Minus eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn. Die Variablen X und Y dienen im Ersetzungsverfahren zur Bildung der jeweils nächsten Zeichenfolge.

Algorithmische Konstruktion

Für eine vereinfachte Codierung werden die Symbole R und L verwendet. Das Zeichnen funktioniert ähnlich wie bei einer Turtle-Grafik. R bedeutet eine 90°-Drehung nach rechts, L eine 90°-Drehung nach links. Man beginnt mit einer Linie nach oben. Nach jedem Symbol wird eine Linie in die dann aktuelle Richtung gezeichnet. Deshalb besitzt die gezeichnete Drachenkurve immer eine Linie mehr als die Codierung Symbole enthält.

Die Konstruktion wird rekursiv beschrieben:

• Die Drachenkurve 0. Ordnung besteht nur aus der Anfangslinie „nach oben“.
• Die Drachenkurve 1. Ordnung wird durch R codiert: Auf die Anfangslinie folgt eine Rechtswende und eine weitere Linie.
• Für eine Drachenkurve der Ordnung i+1 hängt man an eine Drachenkurve der Ordnung i zunächst ein R an.
• An dieses Ergebnis hängt man erneut die Drachenkurve der Ordnung i an, wobei das mittlere Zeichen durch L ersetzt wird.

Die Codierungen der Ordnungen 0 bis 5 lauten:

• 0. Ordnung: ε, also der leere String
• 1. Ordnung: R
• 2. Ordnung: RRL
• 3. Ordnung: RRLRRLL
• 4. Ordnung: RRLRRLLRRRLLRLL
• 5. Ordnung: RRLRRLLRRRLLRLLRRRLRRLLLRRLLRLL

Bei der 0. Ordnung beschreibt ε nur die Codierung ohne Drehzeichen; die Anfangslinie wird beim Zeichnen trotzdem berücksichtigt.

Drachenkurven verschiedener Ordnung

Eine Drachenkurve n-ter Ordnung besteht aus 2^n Segmenten. Die Ordnung gibt damit an, wie oft das Ersetzungs- beziehungsweise Konstruktionsverfahren angewendet wurde. Die ersten dargestellten Drachenkurven reichen von der 0. bis zur 15. Ordnung. Aufeinanderfolgende Ordnungen entstehen, indem die Kurve nach der beschriebenen Regel erweitert wird; dadurch nimmt die Zahl der Segmente jeweils zu.

Für die ersten Ordnungen ergibt sich beispielsweise: Die Kurve 0. Ordnung hat 2^0 = 1 Segment, die Kurve 1. Ordnung 2^1 = 2 Segmente, die Kurve 2. Ordnung 2^2 = 4 Segmente und die Kurve 3. Ordnung 2^3 = 8 Segmente. Entsprechend hat die Kurve 15. Ordnung 2^15 Segmente. Die Abbildungen im Artikel zeigen die Formen der Drachenkurven für alle Ordnungen von 0 bis 15.