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Bonferroni-Korrektur
Die Bonferroni-Korrektur ist ein Verfahren der mathematischen Statistik zur Adjustierung der Signifikanzniveaus der Einzeltests bei multiplen Testen, …
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Zweck und Grundidee
Die Bonferroni-Korrektur ist ein Verfahren der mathematischen Statistik für multiples Testen, also für die gleichzeitige Prüfung mehrerer Hypothesen. Sie soll die Alphafehler-Kumulierung begrenzen: Werden viele richtige Nullhypothesen einzeln mit demselben Signifikanzniveau geprüft, steigt die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine davon fälschlich abzulehnen. Eine solche Ablehnung heißt Fehler 1. Art oder falsch-positiver Befund.
Für k ≥ 2 Tests mit den Elementarhypothesen H₁, …, Hₖ wird die Globalhypothese H₀ = ⋂ⱼ₌₁ᵏ Hⱼ gebildet. Sie besagt, dass alle Elementarhypothesen gelten. H₀ ist genau dann falsch, wenn mindestens eine Elementarhypothese falsch ist. Daher wird H₀ abgelehnt, sobald mindestens eine Elementarhypothese abgelehnt wird.
Die Korrektur vermindert die Signifikanzniveaus der Einzeltests. Dadurch werden tendenziell weniger richtige Nullhypothesen abgelehnt; die verbleibenden Ablehnungen besitzen eine höhere statistische Signifikanz. Zur Bonferroni-Methode gehört außerdem ein ähnliches Verfahren zur Anpassung von Konfidenzniveaus bei simultanen Konfidenzintervallen für einen mehrdimensionalen Parametervektor.
Adjustierung der Einzeltests
Würde man das gewünschte globale Signifikanzniveau α_global bei jedem Einzeltest verwenden, könnte die gesamte Testprozedur dieses Niveau wegen der Alphafehler-Kumulierung überschreiten. Bei der Bonferroni-Korrektur wird deshalb für jeden der k Einzeltests das lokale Signifikanzniveau
α_lokal = α_global / k
festgelegt. Die adjustierten Signifikanzniveaus lauten somit αⱼ = α_lokal für j = 1, …, k. Mit ihnen hält der Test der Globalhypothese das vorgegebene Signifikanzniveau α_global ein.
Entscheidung mit p-Werten
Ein p-Wert wird bei einer p-Wert-basierten Testdurchführung mit dem festgelegten Signifikanzniveau verglichen. Eine Nullhypothese wird abgelehnt, wenn ihr p-Wert kleiner als dieses Niveau ist. Bei der Bonferroni-Korrektur gibt es zwei gleichwertige Vorgehensweisen:
• Die ursprünglichen p-Werte werden mit dem adjustierten lokalen Niveau verglichen. Die j-te Nullhypothese wird abgelehnt, wenn pⱼ < α_lokal gilt.
• Alternativ werden adjustierte p-Werte pⱼ* = pⱼ · k für j = 1, …, k gebildet. Sie werden mit dem globalen Niveau verglichen; die j-te Nullhypothese wird abgelehnt, wenn pⱼ* < α_global gilt.
Beide Regeln führen zu denselben Entscheidungen, weil pⱼ < α_lokal und pⱼ* < α_global äquivalent sind.
Rechenbeispiel
Drei Hypothesentests bilden eine Hypothesenfamilie und liefern die p-Werte p₁ = 0,01, p₂ = 0,04 und p₃ = 0,1. Ohne Berücksichtigung der multiplen Testung und bei α_lokal = 0,05 würden die Nullhypothesen 1 und 2 abgelehnt, weil ihre p-Werte kleiner als 0,05 sind. Die dritte Nullhypothese würde nicht abgelehnt.
Mit der Bonferroni-Korrektur und α_global = 0,05 gilt dagegen α_lokal = α_global / 3 ≈ 0,0166. Nun wird nur Nullhypothese 1 abgelehnt, weil lediglich p₁ = 0,01 unter dem adjustierten lokalen Signifikanzniveau liegt. Für p₂ = 0,04 und p₃ = 0,1 gilt jeweils pⱼ > α_lokal.
Begründung und Grenzen
Die Globalhypothese wird abgelehnt, wenn mindestens eine Elementarhypothese abgelehnt wird. Dieses Ereignis ist die Vereinigung aller einzelnen Ablehnungsereignisse. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung, auch Boolesche Ungleichung genannt, gilt:
P(H₀ wird abgelehnt) = P(⋃ⱼ₌₁ᵏ {Hⱼ wird abgelehnt}) ≤ ∑ⱼ₌₁ᵏ P(Hⱼ wird abgelehnt).
Ist H₀ richtig, sind auch H₁, …, Hₖ richtig. Jede Ablehnungswahrscheinlichkeit ist dann eine Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art und wird durch α_lokal = α_global / k nach oben begrenzt. Daher gilt:
∑ⱼ₌₁ᵏ P(Hⱼ wird abgelehnt) ≤ ∑ⱼ₌₁ᵏ α_lokal = ∑ⱼ₌₁ᵏ α_global/k = α_global.
Damit überschreitet die Wahrscheinlichkeit, die richtige Globalhypothese abzulehnen, das globale Signifikanzniveau nicht.
Die Bonferroni-Korrektur kann jedoch sehr konservativ sein: Sie kontrolliert den α-Fehler streng und schöpft das mögliche Signifikanzniveau der multiplen Testprozedur unter Umständen nicht vollständig aus. Genauere, weniger konservative Verfahren wurden deshalb entwickelt. Die Šidák-Korrektur kann gegenüber der allgemein anwendbaren Bonferroni-Methode eine Verbesserung bieten, gilt aber nur unter einschränkenden Voraussetzungen.