Gleichmäßig bester Konfidenzbereich

Grundidee und Zielkonflikt

Ein gleichmäßig bester Konfidenzbereich ist ein spezieller Konfidenzbereich der mathematischen Statistik mit zusätzlichen Optimalitätseigenschaften. Er wird auch gleichmäßig beste Bereichsschätzfunktion oder gleichmäßig trennschärfstes Konfidenzintervall genannt.

Konfidenzbereiche müssen zwei gegenläufige Ziele verbinden:

• Sie sollen eine vorgegebene Überdeckungswahrscheinlichkeit, das Konfidenzniveau, einhalten. Dafür müsste der Bereich möglichst groß sein.
• Sie sollen zugleich möglichst klein sein, damit sie informativ sind und den tatsächlich vorliegenden Parameter möglichst genau abschätzen.

Ein zu großer Bereich hält zwar das Konfidenzniveau ein, ist aber uninformativ. Ein zu kleiner Bereich ist zwar genauer, hält das Konfidenzniveau jedoch nicht ein. Gleichmäßig beste Konfidenzbereiche lösen diesen Zielkonflikt optimal: Unter allen Konfidenzbereichen mit einem vorgegebenen Konfidenzniveau besitzen sie das kleinste Volumen beziehungsweise die kürzeste Länge.

Formale Definition

Gegeben seien ein statistisches Modell (X, 𝒜, (P_ϑ){ϑ ∈ Θ}), ein Entscheidungsraum (Γ, 𝒜_Γ) und Formhypothesen (Ĥ_ϑ, K̃_ϑ){ϑ ∈ Θ} für eine zu schätzende Funktion

g: Θ → Γ.

Im parametrischen Fall heißt g auch Parameterfunktion. Die Formhypothesen legen fest, welche Werte bei der Schätzung als ungewollt betrachtet werden.

Sei 𝒦_{1−α} die Menge aller Konfidenzbereiche mit Konfidenzniveau 1−α zu diesen Formhypothesen. Ein Konfidenzbereich

C*: X → 𝒫(Γ)

heißt gleichmäßig bester Konfidenzbereich zum Konfidenzniveau 1−α, wenn für alle γ ∈ K̃_ϑ und alle ϑ ∈ Θ gilt:

P_ϑ({γ ∈ C*}) = inf{P_ϑ({γ ∈ C}) | C ∈ 𝒦_{1−α}}.

Damit vermeidet C* für jedes ϑ die ungewollten Werte aus K̃_ϑ möglichst gut. Es ist in diesem Sinn besser als jeder andere Konfidenzbereich, der dieselbe Formhypothese und dasselbe Konfidenzniveau verwendet.

Bestimmung über Tests

Die Bestimmung gleichmäßig bester Konfidenzbereiche beruht auf der Dualität von Konfidenzbereichen und Tests. Ein Konfidenzbereich ist genau dann gleichmäßig bester Konfidenzbereich, wenn der zugehörige nichtrandomisierte Test ein gleichmäßig bester Test ist.

Diese Beziehung erlaubt es, gleichmäßig beste Konfidenzbereiche aus gleichmäßig besten Tests zu konstruieren. Die Optimaleigenschaft des Konfidenzbereichs wird somit über die entsprechende Optimalität des Tests nachgewiesen.