Concurrence (Quanteninformatik)

Bedeutung und Definition

Die Concurrence ist in der Quanteninformatik ein Maß für die Verschränkung zweier Qubits. Ein Qubit ist ein quantenmechanisches Zweizustandssystem. Ein Zustand heißt separabel, wenn keine Verschränkung zwischen den beiden Qubits vorliegt. Die Concurrence ist genau dann 0, wenn der Zustand separabel ist, und 1 bei maximal verschränkten Zuständen.

Für einen Zustand mit der Dichtematrix ρ ist sie definiert durch

C(ρ) = max(0, λ₁ − λ₂ − λ₃ − λ₄).

Dabei sind λ₁, …, λ₄ die Eigenwerte in absteigender Reihenfolge der hermiteschen Matrix

R = √(√ρ · ρ̃ · √ρ).

Der spin-geflippte Zustand ρ̃ ist gegeben durch

ρ̃ = (σᵧ ⊗ σᵧ) ρ* (σᵧ ⊗ σᵧ).

Hier bezeichnet σᵧ die Pauli-Matrix σᵧ, ⊗ das Tensorprodukt und ρ* die komplex konjugierte Dichtematrix. Die komplexe Konjugation wird in der Eigenbasis von σ_z vorgenommen. Alternativ können die λᵢ als die Wurzeln der Eigenwerte der nicht-hermiteschen Matrix ρρ̃ bestimmt werden. Alle λᵢ sind dabei nicht-negative reelle Zahlen.

Reine Zustände und Eigenschaften

Für einen reinen Zustand |ψ⟩, also einen Zustand, der durch einen Zustandsvektor vollständig beschrieben wird, vereinfacht sich die Concurrence zu

C(|ψ⟩) = 2√(2(1 − tr(ρ²))).

Dabei ist ρ = tr₂(|ψ⟩⟨ψ|) die Partialspur der Dichtematrix |ψ⟩⟨ψ| über das zweite Qubit. Die so erhaltene Dichtematrix ρ beschreibt daher das erste Qubit. tr(ρ²) bezeichnet die Spur des Quadrats dieser Dichtematrix.

Mit den beiden Schmidt-Koeffizienten a₁ ≥ a₂ ≥ 0 des Zustands |ψ⟩ lautet die Formel

C(|ψ⟩) = 2a₁a₂.

Die Formationsverschränkung kann für bipartite Zustände aus der Concurrence durch eine monotone Abbildung berechnet werden. Eine monotone Abbildung erhält die Reihenfolge der Werte: Je größer die Concurrence ist, desto größer ist auch die entsprechende Formationsverschränkung. Die Formationsverschränkung ist außerdem für Qubit-Zustände höherer Dimension definiert.

Für reine Zustände ist die Concurrence ein Polynom, das unter SL(2,ℂ)⊗²-Transformationen invariant ist und aus den Koeffizienten des Zustands gebildet wird. Für gemischte Zustände lässt sich die Concurrence als konvexe Fortsetzung definieren. Dabei wird der Wert eines gemischten Zustands aus möglichen Zerlegungen in reine Zustände bestimmt.

Für ein einzelnes Qubit in einem größeren System gilt außerdem: Die Concurrence dieses Qubits mit dem Rest des Systems kann die Summe der Concurrences der Qubit-Paare, zu denen es gehört, nicht übersteigen.

Verallgemeinerung auf höhere Dimensionen

Die Concurrence lässt sich auf Systeme mit Dimension d > 2 verallgemeinern. Für reine Zustände gilt dann

C(|ψ⟩) = √(⟨ψ|ψ⟩ − tr(ρ₁²)).

Hier ist ρ₁ = tr₂(|ψ⟩⟨ψ|) der reduzierte Zustand im ersten der beiden Systeme. Die reduzierte Dichtematrix entsteht durch die Partialspur über das zweite System.

Für einen gemischten Zustand ρ wird die Concurrence über eine konvexe Dach-Konstruktion definiert. Anders als im Fall von Qubits ist für höhere Dimensionen keine analytische Formel bekannt. Außerdem ist die Formationsverschränkung dort im Allgemeinen keine monotone Funktion der Concurrence mehr.

Eine weitere Verallgemeinerung ist nur für spezielle Zustände definiert. Für diese Zustände bleibt jedoch der monotone Zusammenhang zwischen Concurrence und Formationsverschränkung erhalten.