Geometrie in der Ebene
Vieleck: Fläche, Umfang und Radius berechnen
Wie hängen Winkel, Umfang und Fläche eines regelmäßigen Vielecks zusammen – und wie berechnest du sie aus der Eckenzahl und der Seitenlänge?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
\mu = \frac{360^\circ}{n} \qquad \beta = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n} \qquad r_i = \frac{a}{2 \tan\left(\frac{\mu}{2}\right)} \qquad A = n \cdot \frac{a \cdot r_i}{2}
- 1Zentriwinkel: \mu = \frac{360^\circ}{n} – so viel Grad hat jedes der n Dreiecke an der Mitte.
- 2Innenwinkel: \beta = \frac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}, denn die Winkelsumme im n-Eck ist (n - 2) \cdot 180^\circ.
- 3Inkreisradius (Höhe eines Dreiecks): r_i = \frac{a}{2 \tan(\mu/2)}, Umkreisradius R = \frac{a}{2 \sin(\mu/2)}.
- 4Fläche: n Dreiecke mit Grundseite a und Höhe r_i, also A = n \cdot \frac{a \cdot r_i}{2}; der Umfang ist U = n \cdot a.
Typische Fehler
- Zentriwinkel und Innenwinkel verwechselt: Beim Sechseck ist der Winkel an der Mitte \mu = 360^\circ : 6 = 60^\circ, der Innenwinkel an einer Ecke aber \beta = 120^\circ.
- Den ganzen Zentriwinkel in den Tangens gesteckt: Im halben Dreieck steht der halbe Winkel: beim Sechseck \tan(30^\circ), nicht \tan(60^\circ).
- Umkreisradius als Höhe genommen: Die Höhe eines Dreiecks ist der Inkreisradius r_i, nicht R. Beim Sechseck mit a = 4 cm ist R = 4 cm, aber r_i \approx 3{,}46 cm.