Geometrie in der Ebene
Rechtwinkliges Dreieck berechnen
Wie berechnest du ein rechtwinkliges Dreieck aus zwei Seiten – oder aus einer Seite und einem Winkel?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
a^2 + b^2 = c^2, \qquad \sin\beta = \frac{b}{c}, \quad \cos\beta = \frac{a}{c}, \quad \tan\beta = \frac{b}{a}
- 1Benenne die Seiten vom rechten Winkel aus: Die Hypotenuse c liegt ihm gegenüber und ist die längste Seite; die Katheten a und b bilden den rechten Winkel.
- 2Zwei Seiten bekannt: Die dritte liefert Pythagoras, c = \sqrt{a^2 + b^2} oder b = \sqrt{c^2 - a^2}.
- 3Eine Seite und ein Winkel bekannt: Vom Winkel aus gesehen ist die Seite daneben die Ankathete, die gegenüber die Gegenkathete – dann \sin = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}, \cos = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}, \tan = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}.
- 4Der zweite spitze Winkel: \alpha = 90^\circ - \beta. Die Fläche: A = \frac{a \cdot b}{2} – die Katheten sind Grundseite und Höhe.
Typische Fehler
- Hypotenuse falsch erkannt: Bei einer 5 m langen Leiter, die 1,2 m von der Wand steht, ist die Leiter die Hypotenuse. \sqrt{5^2 + 1{,}2^2} \approx 5{,}14 ist falsch – richtig ist \sqrt{5^2 - 1{,}2^2} \approx 4{,}85 m.
- An- und Gegenkathete vertauscht: Ein Baum wirft 12 m Schatten, die Sonne steht 35° hoch. Die Baumhöhe liegt dem Winkel gegenüber: 12 \cdot \tan(35^\circ) \approx 8{,}40 m – nicht 12 : \tan(35^\circ) \approx 17{,}14 m.
- Wurzel falsch gezogen: \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 – nicht \sqrt{3^2} + \sqrt{4^2} = 3 + 4 = 7. Erst die Quadrate addieren, dann die Wurzel ziehen.