Gleichungen & Funktionen

Polynomgleichung lösen

Berechne reelle Nullstellen von Polynomen zweiten bis vierten Grades, erkenne Vielfachheiten im Graphen und prüfe die Residuen.

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Kurz erklärt

Eine Polynomgleichung sucht alle reellen Werte, für die ein Polynom null wird. Dieser Rechner löst Gleichungen bis zum vierten Grad mit den Verfahren aus dem Unterricht: Ausklammern, Substitution, Raten einer Lösung mit anschließender Polynomdivision und die abc-Formel. Er erkennt Vielfachheiten und prüft jede gefundene Lösung durch Einsetzen – bei Wurzeln und Näherungen mit dem Residuum. Hat eine Gleichung dritten oder vierten Grades keine rationale Lösung, sagt er das und nähert die Lösungen an. Der Graph zeigt, ob eine Nullstelle die x-Achse schneidet oder bei gerader Vielfachheit nur berührt.

Merke: Nullstellen gerader Vielfachheit berühren die x-Achse; ungerade Vielfachheiten schneiden sie.

So rechnest du selbst

a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 \qquad x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

1Fehlt die Zahl ohne x, klammere x aus: x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = 0, also x = 0 oder x^2 - 4 = 0 (Satz vom Nullprodukt).
2Kommen nur x^4 und x^2 vor, substituiere z = x^2: x^4 - 5x^2 + 4 = 0 wird z^2 - 5z + 4 = 0 mit z = 1 und z = 4, also x = \pm 1 und x = \pm 2.
3Sonst rate eine Lösung unter den Teilern des Absolutglieds: bei x^3 - 6x^2 + 11x - 6 ist f(1) = 0. Teile mit Polynomdivision oder Horner-Schema durch (x - 1): Es bleibt x^2 - 5x + 6.
4Den quadratischen Rest löst du mit der abc-Formel. Eine Lösung, die mehrfach vorkommt (D = 0 oder ein Faktor im Quadrat), ist eine mehrfache Nullstelle – dort berührt der Graph die x-Achse.

Typische Fehler

Durch x geteilt statt ausgeklammert: Aus x^3 = 4x wird durch Teilen x^2 = 4 – dabei geht die Lösung x = 0 verloren. Richtig: x(x^2 - 4) = 0, also x = 0, x = 2 und x = -2.
Rücksubstitution vergessen: Bei x^4 - 5x^2 + 4 = 0 sind z = 1 und z = 4 noch nicht die Lösungen. Aus x^2 = z folgen vier: \pm 1 und \pm 2.
Negative z mitgenommen: x^2 = -3 hat keine reelle Lösung – eine negative Zahl hat keine reelle Wurzel.
Vorzeichen beim Linearfaktor: Ist x = -2 eine Lösung, teilst du durch (x + 2), nicht durch (x - 2).