Gleichungen & Funktionen

Rest bei Polynomdivision

Wie teilst du ein kubisches Polynom durch den Linearfaktor (x - r) – und wie bestimmst du den Rest?

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Kurz erklärt

Bei der Polynomdivision teilst du ein Polynom P(x) durch einen Linearfaktor (x − r). Heraus kommt ein Quotient Q(x) mit einem Grad weniger und ein Rest R: P(x) = (x − r) · Q(x) + R. Der Restsatz sagt, dass dieser Rest immer P(r) ist – du kannst ihn also auch durch Einsetzen bestimmen. Ist der Rest 0, ist r eine Nullstelle und (x − r) ein Faktor von P. Der Rechner zeigt jeden Teilschritt der schriftlichen Division, rechnet die Koeffizienten mit dem Horner-Schema und macht die Probe über den Restsatz.

Merke: Der Rest bei der Division durch (x − r) ist immer P(r). Rest 0 heißt: r ist eine Nullstelle und (x − r) ein Faktor.

So rechnest du selbst

P(x) = (x - r)\cdot Q(x) + R \quad\text{mit}\quad Q(x) = ax^2 + q_1 x + q_0,\ R = P(r)

1Teil den höchsten Term durch x: x^3 : x = x^2. Das ist der erste Term des Quotienten.
2Multiplizier zurück und zieh ab: x^2 \cdot (x - 1) = x^3 - x^2, und (x^3 - 6x^2) - (x^3 - x^2) = -5x^2. Hol +11x herunter und teile wieder: -5x^2 : x = -5x.
3Wiederhol das, bis kein x mehr übrig ist: -5x \cdot (x - 1) = -5x^2 + 5x, übrig 6x - 6, dann 6 \cdot (x - 1) = 6x - 6, übrig 0. Also (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) : (x - 1) = x^2 - 5x + 6.
4Schneller mit dem Horner-Schema: a hinschreiben, dann immer mal r plus nächster Koeffizient. Die letzte Zahl ist der Rest – und nach dem Restsatz gleich P(r).

Typische Fehler

Falsches Vorzeichen von r: Bei der Division durch (x + 2) ist r = -2, nicht 2 – denn x + 2 = x - (-2).
Beim Abziehen nur den ersten Term geändert: (x^3 - 6x^2) - (x^3 - x^2) = -5x^2, nicht -7x^2. Die Klammer dreht beide Vorzeichen um.
Fehlende Potenz vergessen: Bei (x^3 - 8) : (x - 2) schreibst du x^3 + 0x^2 + 0x - 8. Ohne die Nullen verrutschen die Spalten, und im Horner-Schema fehlen zwei Koeffizienten.