Körper im Raum
Kugel: Volumen und Oberfläche berechnen
Wie berechnest du Durchmesser, Oberfläche und Volumen einer Kugel aus dem Radius – und den Radius aus Umfang, Oberfläche oder Volumen?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
O = 4\pi r^2 \qquad V = \frac{4}{3}\pi r^3 \qquad d = 2r \qquad u = 2\pi r
- 1Radius bestimmen: Aus dem Durchmesser ist r = \frac{d}{2}, aus dem Umfang erst d = \frac{u}{\pi}.
- 2Oberfläche: O = 4\pi r^2 – so groß wie vier Kreise mit dem Radius r.
- 3Volumen: V = \frac{4}{3}\pi r^3 – für r = 3 cm: \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27 \approx 113{,}1 cm³.
- 4Rückwärts: r = \sqrt{\frac{O}{4\pi}} aus der Oberfläche, r = \sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}} aus dem Volumen.
Typische Fehler
- Durchmesser statt Radius: Ein Ball mit d = 22 cm hat r = 11 cm. Setzt du 22 ein, wird das Volumen achtmal zu groß.
- r^2 und r^3 vertauscht: Die Oberfläche braucht r^2 (cm²), das Volumen r^3 (cm³). Bei r = 3 cm sind beide Zahlen zufällig gleich (\approx 113{,}1) – die Größen aber nicht.
- Beim Rückwärtsrechnen die falsche Wurzel: Aus V = 1000 cm³ folgt r^3 = \frac{3 \cdot 1000}{4\pi} \approx 238{,}7. Hier brauchst du die dritte Wurzel: r \approx 6{,}2 cm, nicht \sqrt{238{,}7} \approx 15{,}5 cm.