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Gleichungen & Funktionen

Nullstelle einer kubischen Gleichung prüfen

Wie prüfst du, ob eine vermutete Zahl r eine Nullstelle eines kubischen Polynoms ist – und wie findest du danach die anderen Nullstellen?

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Beispiele zum Ausprobieren

Ergebnis

…

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Rechenweg

    So rechnest du selbst

    f(r) = ar^3 + br^2 + cr + d = 0 \quad\Rightarrow\quad f(x) = (x - r)\,(ax^2 + q_1 x + q_0)
    1. 1Rate eine Nullstelle. Bei ganzen Koeffizienten und a = 1 kommen nur die Teiler von d infrage: bei x^3 - 6x^2 + 11x - 6 also \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6.
    2. 2Setz ein: f(1) = 1^3 - 6 \cdot 1^2 + 11 \cdot 1 - 6 = 0. Ist das Ergebnis 0, ist r = 1 eine Nullstelle und (x - 1) ein Linearfaktor.
    3. 3Teil durch (x - 1) – mit Polynomdivision oder dem Horner-Schema: q_1 = -6 + 1 \cdot 1 = -5, q_0 = 11 + (-5) \cdot 1 = 6. Es bleibt x^2 - 5x + 6.
    4. 4Löse x^2 - 5x + 6 = 0 mit der abc- oder pq-Formel: x_2 = 3, x_3 = 2. Zusammen: f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3).

    Typische Fehler

    • Vorzeichen beim Linearfaktor: Ist r = -2 eine Nullstelle, lautet der Faktor (x + 2), nicht (x - 2) – denn x - (-2) = x + 2.
    • Potenz vor dem Minus: (-2)^2 = 4, aber -2^2 = -4. Bei f(-2) mit f(x) = x^3 - 3x + 2 gibt (-2)^3 - 3 \cdot (-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0.
    • Nur eine Nullstelle angegeben: Nach dem Treffer r = 1 bei x^3 - 6x^2 + 11x - 6 fehlen noch die Nullstellen von x^2 - 5x + 6: 2 und 3.