Statistik & Wahrscheinlichkeit

Kombinatorik: Kombinationen und Variationen berechnen

Wie viele Möglichkeiten gibt es, k aus n auszuwählen – zum Beispiel Dreiergruppen aus n Personen? Und was ändert sich, wenn die Reihenfolge zählt oder etwas mehrfach vorkommen darf?

Deine Werte

Spielt die Reihenfolge eine Rolle?

Nein – nur wer dabei ist (Gruppe, Lotto) Ja – die Reihenfolge zählt (Rangliste, Code)

Darf etwas mehrfach vorkommen?

Nein – jedes höchstens einmal (ohne Zurücklegen) Ja – mehrfach möglich (mit Zurücklegen)

Anzahl zur Auswahl nz. B. Personen, Ziffern

Anzahl ausgewählt kz. B. Plätze, Stellen

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Kurz erklärt

In der Kombinatorik zählst du, wie viele Auswahlen oder Anordnungen möglich sind. Welche Formel passt, hängt von zwei Fragen ab: Ist die Reihenfolge wichtig, und dürfen Elemente mehrfach vorkommen? Das ergibt vier Fälle – im Urnenmodell: Ziehen mit oder ohne Zurücklegen, mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge. Bei ungeordneten Dreiergruppen zählt jede Gruppe nur einmal, auch wenn sich ihre Mitglieder in sechs verschiedenen Reihenfolgen anordnen lassen. Das Diagramm vergleicht alle vier Fälle für dein n und k.

Merke: Ohne Reihenfolge kommt jede Gruppe aus k Elementen in der geordneten Zählung genau k!-mal vor – deshalb teilst du durch k! (bei Dreiergruppen durch 3! = 6).

So rechnest du selbst

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

1Stell zwei Fragen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Darf ein Element mehrfach vorkommen?
2Mit Reihenfolge und mit Wiederholung hat jede der k Stellen alle n Möglichkeiten: n^k. Eine 4-stellige PIN: 10^4 = 10\,000.
3Mit Reihenfolge, ohne Wiederholung wird es an jeder Stelle eine weniger: n \cdot (n-1) \cdot \ldots mit k Faktoren, also \frac{n!}{(n-k)!}. Gold, Silber und Bronze unter 8 Läuferinnen: 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336.
4Ohne Reihenfolge teilst du diese Zahl durch k!, weil jede Gruppe darin in k! Reihenfolgen vorkommt: \binom{n}{k}. Dreiergruppen aus 10: 720 : 6 = 120.

Typische Fehler

Reihenfolge mitgezählt, obwohl sie egal ist: Beim Lotto zählt nur, *welche* 6 Zahlen du hast: \binom{49}{6} = 13\,983\,816 Tipps – nicht 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44 = 10\,068\,347\,520.
Mit und ohne Wiederholung verwechselt: Eine 4-stellige PIN darf Ziffern wiederholen (1122): 10^4 = 10\,000 – nicht 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040.
Durch k! teilen vergessen: Für Dreiergruppen aus 10 Personen ist 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 die Zahl der *geordneten* Auswahlen. Jede Gruppe steckt darin 3! = 6-mal: 720 : 6 = 120 Gruppen.