Körper im Raum

Keil berechnen: Volumen, Oberfläche und Höhe

Wie berechnest du Volumen und Oberfläche eines geraden Keils aus Grundfläche, Firstkante und Höhe?

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Kurz erklärt

Ein gerader Keil hat eine rechteckige Grundfläche mit den Kanten a und b. Darüber liegt in der Höhe h die Firstkante c, die parallel zur Kante a über der Mitte der Grundfläche verläuft – wie bei einem Walmdach. Die Seitenflächen bestehen aus zwei Trapezen mit den parallelen Seiten a und c sowie aus zwei gleichschenkligen Dreiecken mit der Basis b. Für das Volumen brauchst du nur a, b, c und h; für die Oberfläche berechnest du zusätzlich die Höhen der Trapez- und der Dreiecksflächen mit dem Satz des Pythagoras.

Merke: Ist die Firstkante genauso lang wie a, wird der Keil zum dreiseitigen Prisma mit V = a·b·h/2; wird c sehr klein, nähert er sich einer Pyramide mit V = a·b·h/3. Die Formel deckt beide Grenzfälle ab.

So rechnest du selbst

V = \frac{b \cdot h}{6} \cdot (2a + c) \qquad O = a b + (a + c) \cdot h_a + b \cdot h_b

1Grundfläche: G = a \cdot b (ein Rechteck).
2Volumen: V = \frac{b h}{6}(2a + c) – für a = 8, b = 4, c = 4, h = 5: \frac{20}{6} \cdot 20 \approx 66{,}67.
3Höhen der Seitenflächen mit Pythagoras: Trapeze h_a = \sqrt{h^2 + (\frac{b}{2})^2}, Dreiecke h_b = \sqrt{h^2 + (\frac{a - c}{2})^2}.
4Mantel: zwei Trapeze und zwei Dreiecke, M = (a + c) \cdot h_a + b \cdot h_b; Oberfläche O = G + M.

Typische Fehler

Körperhöhe statt Flächenhöhe: Die Trapeze und Dreiecke stehen schräg. Bei h = 5 und b = 4 ist die Trapezhöhe h_a = \sqrt{25 + 4} \approx 5{,}39, nicht 5.
Halbe Kanten vergessen: Im Pythagoras stehen \frac{b}{2} und \frac{a - c}{2}, weil der First genau über der Mitte liegt – nicht b und a - c.
Pyramidenformel genommen: \frac{1}{3} a b h gilt nur für c = 0. Bei a = 8, b = 4, c = 4, h = 5 sind es \approx 66{,}67, nicht \approx 53{,}33.