Körper im Raum
Kegelstumpf: Volumen und Oberfläche
Wie berechnest du Mantel, Oberfläche und Volumen eines Kegelstumpfs?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
V = \frac{\pi h}{3}\left(R^2 + R r + r^2\right) \qquad M = \pi (R + r) s
- 1Mantellinie mit Pythagoras: s = \sqrt{h^2 + (R - r)^2} – die Katheten sind die Höhe und der Unterschied der Radien.
- 2Grundfläche G = \pi R^2, Deckfläche D = \pi r^2, Mantel M = \pi (R + r) s.
- 3Oberfläche: O = G + D + M.
- 4Volumen: V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) – für R = 5, r = 3, h = 4: \frac{4\pi}{3} \cdot 49 \approx 205{,}25.
Typische Fehler
- Höhe statt Mantellinie im Mantel: M = \pi (R + r) s braucht die schräge Mantellinie s. Bei R = 5, r = 3, h = 4 ist s \approx 4{,}47, nicht 4.
- Mittelwert der Flächen genommen: \frac{G + D}{2} \cdot h ist zu groß. Richtig ist \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2): bei R = 5, r = 3, h = 4 sind das \approx 205{,}25 cm³, nicht \approx 213{,}6 cm³.
- Durchmesser eingesetzt: Ein Eimer mit 30 cm Durchmesser oben hat R = 15 cm.