Analysis, Vektoren & Matrizen
Integral eines Polynoms berechnen
Wie berechnest du das bestimmte Integral \int_a^b f(x)\,dx von f(x) = x^2 - 1 oder einem anderen Polynom bis x^3?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
\int_a^b f(x)\,dx = \big[F(x)\big]_a^b = F(b) - F(a) \quad\text{mit}\quad F(x) = k_3\frac{x^4}{4} + k_2\frac{x^3}{3} + k_1\frac{x^2}{2} + k_0 x
- 1Bilde eine Stammfunktion: Aus x^n wird \frac{x^{n+1}}{n+1}, eine Zahl k wird k \cdot x. Für f(x) = x^2 - 1 ist F(x) = \frac{x^3}{3} - x.
- 2Setz die obere Grenze ein: F(2) = \frac{2^3}{3} - 2 = \frac{2}{3}.
- 3Setz die untere Grenze ein: F(0) = 0.
- 4Zieh ab: \int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = F(2) - F(0) = \frac{2}{3} \approx 0{,}67. Das ist eine Flächenbilanz: Was unter der x-Achse liegt, zählt negativ.
Typische Fehler
- Grenzen vertauscht: F(a) - F(b) statt F(b) - F(a) dreht das Vorzeichen um. Bei \int_0^2 (x^2 - 1)\,dx käme -\frac{2}{3} heraus statt \frac{2}{3}.
- Die Zahl vergessen: Die Stammfunktion von -1 ist -x, nicht 0. Mit F(x) = \frac{x^3}{3} allein bekommst du \frac{8}{3} statt \frac{2}{3}.
- Bilanz mit Fläche verwechselt: \int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \frac{2}{3}, aber die Fläche zwischen Graph und x-Achse ist \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 – der Teil von 0 bis 1 liegt unter der Achse.