Geometrie in der Ebene
Gleichschenkliges Dreieck berechnen: Höhe, Fläche, Winkel
Wie berechnest du aus Schenkel und Basis (oder Höhe, oder Winkel) Höhe, Fläche, Umfang, Winkel sowie In- und Umkreis?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2}, \qquad A = \frac{c \cdot h}{2}, \qquad \cos\alpha = \frac{c/2}{a}
- 1Zeichne die Höhe auf die Basis ein: Sie halbiert die Basis und den Spitzenwinkel und zerlegt das Dreieck in zwei gleiche rechtwinklige Hälften.
- 2Im halben Dreieck ist der Schenkel a die Hypotenuse: h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{c}{2}\right)^2}, bei a = 5 und c = 6 also \sqrt{25 - 9} = 4.
- 3Winkel im halben Dreieck: \cos\alpha = \frac{c/2}{a} oder \tan\alpha = \frac{h}{c/2}. Der Spitzenwinkel ist \gamma = 180^\circ - 2\alpha.
- 4Fläche A = \frac{c \cdot h}{2}, Umfang U = 2a + c; Inkreisradius r = \frac{2A}{U}, Umkreisradius R = \frac{a^2}{2h}.
Typische Fehler
- Ganze statt halbe Basis: h = \sqrt{5^2 - 6^2} geht gar nicht – im halben Dreieck ist die Kathete \frac{c}{2} = 3, also h = \sqrt{25 - 9} = 4 cm.
- Schenkel als Höhe genommen: Die Fläche ist \frac{6 \cdot 4}{2} = 12 cm², nicht \frac{6 \cdot 5}{2} = 15 cm² – der Schenkel steht schräg, die Höhe senkrecht.
- Winkel falsch verteilt: Bei \alpha = 40^\circ ist der Spitzenwinkel 180^\circ - 2 \cdot 40^\circ = 100^\circ – nicht 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ. Es gibt zwei gleich große Basiswinkel.