Gleichungen & Funktionen

Lineare Gleichungssysteme mit Gauß lösen

Löse lineare Gleichungssysteme mit dem Gauß-Verfahren und verfolge Zeilenoperationen, Zwischenmatrizen und Lösungsprüfung Schritt für Schritt.

Deine Werte

Unbekannte

2 (x, y) 3 (x, y, z)

I: Zahl vor x

I: Zahl vor y

I: Zahl vor z

I: rechte Seite

II: Zahl vor x

II: Zahl vor y

II: Zahl vor z

II: rechte Seite

III: Zahl vor x

III: Zahl vor y

III: Zahl vor z

III: rechte Seite

Beispiele zum Ausprobieren

Ergebnis

…

Diagramm wird geladen …

Rechenweg

Selbst mitrechnen

So rechnest du selbst

\left(\begin{array}{ccc|c} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \end{array}\right) \longrightarrow \left(\begin{array}{ccc|c} * & * & * & * \\ 0 & * & * & * \\ 0 & 0 & * & * \end{array}\right)

1Schreib die Zahlen vor x, y, z und die rechten Seiten als erweiterte Matrix.
2Mach mit Zeile I die Einträge unter dem ersten Pivot zu 0: Steht in I eine 2 und in II eine -3 vor x, rechnest du 2 \cdot \text{II} + 3 \cdot \text{I}. Dann mit Zeile II den Eintrag darunter.
3In Stufenform löst du von unten nach oben: die letzte Zeile nach z, dann y, dann x – und machst die Probe.
4Eine Zeile 0 \;\; 0 \;\; 0 \mid 5 heißt: keine Lösung. Eine Nullzeile 0 \;\; 0 \;\; 0 \mid 0 heißt: eine Unbekannte ist frei wählbar, es gibt unendlich viele Lösungen.

Typische Fehler

Rechte Seite vergessen: Die Umformung gilt für die ganze Zeile. Bei \text{II} - 2 \cdot \text{I} mit I: (1 \;\; 1 \;\; 1 \mid 6) und II: (2 \;\; {-1} \;\; 1 \mid 3) wird auch rechts gerechnet: 3 - 2 \cdot 6 = -9.
Vorzeichenfehler beim Abziehen: In derselben Umformung ist der y-Eintrag -1 - 2 \cdot 1 = -3, nicht 1. Schreib die Zwischenzeile hin, bevor du zusammenfasst.
Nullzeile als „keine Lösung“ gelesen: 0 \;\; 0 \;\; 0 \mid 0 stimmt immer – das bedeutet unendlich viele Lösungen. Keine Lösung gibt es nur bei 0 \;\; 0 \;\; 0 \mid 5.