Gleichungen & Funktionen
Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen
Wie löst der Logarithmus eine Gleichung, deren Unbekannte im Exponenten steht – etwa 2^x = 1000 oder 500 \cdot 1{,}03^x = 800?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
c \cdot a^x = b \quad\Rightarrow\quad a^x = \frac{b}{c} \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\ln\left(\frac{b}{c}\right)}{\ln a}
- 1Bring die Potenz allein auf eine Seite: Aus 500 \cdot 1{,}03^x = 800 wird durch Teilen 1{,}03^x = 1{,}6.
- 2Logarithmiere beide Seiten. Der Exponent rutscht als Faktor nach vorn: x \cdot \ln 1{,}03 = \ln 1{,}6.
- 3Teile durch den Logarithmus der Basis: x = \frac{\ln 1{,}6}{\ln 1{,}03} \approx 15{,}9.
- 4Mach die Probe: 500 \cdot 1{,}03^{15{,}9} \approx 800. Ob du \ln oder \lg nimmst, ist egal – nur überall denselben.
Typische Fehler
- Startwert nicht zuerst geteilt: Bei 500 \cdot 1{,}03^x = 800 darfst du nicht \ln 500 \cdot x rechnen. Erst durch 500 teilen: 1{,}03^x = 1{,}6.
- Logarithmen gekürzt: \frac{\ln 20}{\ln 3} ist nicht \ln\frac{20}{3} und auch nicht \frac{20}{3}. Rechne beide Logarithmen aus und teile dann: \frac{2{,}9957}{1{,}0986} \approx 2{,}73.
- Keine Lösung übersehen: 2^x = -8 hat keine Lösung, denn eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv – der Logarithmus einer negativen Zahl existiert nicht.