Geometrie in der Ebene
Ellipse berechnen: Fläche, Umfang, Exzentrizität
Wie berechnest du Fläche, Umfang und Exzentrizität einer Ellipse aus ihren Halbachsen?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
A = \pi a b \qquad e = \sqrt{a^2 - b^2} \qquad \varepsilon = \frac{e}{a} \qquad U \approx \pi \left(3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right)
- 1Fläche: A = \pi a b – wie beim Kreis \pi r \cdot r, nur mit zwei verschiedenen Halbachsen.
- 2Lineare Exzentrizität (Abstand Mittelpunkt–Brennpunkt): e = \sqrt{a^2 - b^2}, denn vom Brennpunkt zum Nebenscheitel sind es genau a (Pythagoras).
- 3Numerische Exzentrizität: \varepsilon = \frac{e}{a} – 0 beim Kreis, nahe 1 bei einer sehr flachen Ellipse.
- 4Umfang: Eine einfache exakte Formel gibt es nicht; die Näherung von Ramanujan ist für die Schule mehr als genau genug.
Typische Fehler
- Ganze Achsen statt Halbachsen: Ist ein ovaler Tisch 2 m lang und 1,2 m breit, sind a = 1 m und b = 0{,}6 m. Mit 2 und 1,2 gerechnet wird die Fläche viermal zu groß.
- Plus statt minus unter der Wurzel: e = \sqrt{a^2 - b^2}, bei a = 5, b = 3 also \sqrt{16} = 4, nicht \sqrt{34} \approx 5{,}83 – der Brennpunkt liegt innerhalb der Ellipse.
- Umfang wie beim Kreis mit dem Mittelwert: 2\pi \cdot \frac{a + b}{2} ist nur eine grobe Schätzung; bei flachen Ellipsen ist sie deutlich zu klein.