Geometrie in der Ebene
Dreieck aus drei Seiten berechnen
Wie bestimmst du Fläche und Winkel eines Dreiecks aus drei Seiten?
Ergebnis
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Rechenweg
Rechne jeden Schritt selbst und deck ihn dann auf – erst dann kommt der nächste. Das Ergebnis oben ist verschwommen, bis du darauf tippst.
So rechnest du selbst
A = \sqrt{s\,(s-a)(s-b)(s-c)} \quad \text{mit } s = \frac{a+b+c}{2}, \qquad \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
- 1Prüfe zuerst: Jede Seite muss kürzer sein als die beiden anderen zusammen (bei 2, 3 und 6 cm schließt sich das Dreieck nicht).
- 2Halber Umfang: s = \frac{a + b + c}{2}, zum Beispiel s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9.
- 3Heron: A = \sqrt{s\,(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} \approx 14{,}70 cm².
- 4Kosinussatz nach dem Winkel umgestellt: \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, dann \cos^{-1} mit dem Taschenrechner (DEG). Den dritten Winkel liefert die Winkelsumme 180°.
Typische Fehler
- Falsche Seite im Zähler: Für \alpha steht a^2 mit Minus – \cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}. Bei 5, 6, 7 cm gibt \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} nicht \alpha, sondern \gamma.
- Ganzen statt halben Umfang: Heron braucht s = \frac{a+b+c}{2} = 9, nicht U = 18 – mit 18 kommt \sqrt{18 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11} heraus, fast 25-mal zu viel.
- Taschenrechner im Bogenmaß (RAD): \cos^{-1}(0{,}7143) gibt dann 0,775 statt 44,42°. Stell ihn auf DEG.