Gleichungen & Funktionen

Binomische Formeln berechnen

Wie wird aus dem Quadrat einer Summe (a + b)^2 die Summe a^2 + 2ab + b^2 – und wie gehen die 2. und 3. binomische Formel?

Ergebnis

…

Diagramm wird geladen …

Rechenweg

Selbst mitrechnen

Teste dich

0 von 0 auf Anhieb

Aufgabe wird erstellt …

Kurz erklärt

Binomische Formeln helfen dir, bestimmte Klammerausdrücke schnell auszumultiplizieren oder wieder zu faktorisieren. Bei der ersten Formel wird aus dem Quadrat einer Summe die Summe aus zwei Quadraten und dem doppelten Produkt, bei der zweiten wird das doppelte Produkt abgezogen, bei der dritten heben sich die gemischten Produkte auf. Gerade der mittlere Term wird leicht vergessen und ist deshalb beim Prüfen besonders wichtig. Das Flächenmodell zeigt, warum: Im großen Quadrat mit der Seite a + b stecken zwei Rechtecke a · b.

Merke: Der Term 2ab entsteht, weil beim Ausmultiplizieren sowohl a \cdot b als auch b \cdot a vorkommt.

So rechnest du selbst

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \quad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \quad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

1Erkenne die Formel: Summe zum Quadrat (1.), Differenz zum Quadrat (2.) oder Summe mal Differenz derselben Zahlen (3.).
2Bestimme a und b: Bei (3x + 2)^2 ist der erste Summand 3x, der zweite 2.
3Setz ein: (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4. Das Quadrat gilt für die Zahl und das x.
4Kopfrechnen: 51 \cdot 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499.

Typische Fehler

Mittleren Term vergessen: (x + 5)^2 ist nicht x^2 + 25, sondern x^2 + 10x + 25. Das doppelte Produkt 2 \cdot x \cdot 5 = 10x gehört dazu.
Zahl vor x nicht quadriert: (3x)^2 ist 9x^2, nicht 3x^2 – das Quadrat gilt für die 3 und das x.
Vorzeichen bei der 2. Formel: (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16. Nur das doppelte Produkt bekommt das Minus; (-4)^2 = +16.