Analysis, Vektoren & Matrizen

Ableitungen berechnen mit Rechenweg

Berechne die Ableitung einer Funktion Schritt für Schritt, erkenne die verwendeten Ableitungsregeln und untersuche die Tangente im Graphen.

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Rechenweg

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Kurz erklärt

Die Ableitung beschreibt, wie stark sich der Funktionswert an einer Stelle verändert – die Steigung der Tangente dort. Je nach Aufbau der Funktion brauchst du dafür die Summen-, Potenz- und Faktorregel, bei Produkten, Brüchen und verketteten Funktionen die Produkt-, Quotienten- oder Kettenregel. Der Rechner ordnet jedem Teil die passende Regel zu, zeigt den Rechenweg mit deinen Termen und macht die momentane Steigung als Tangente sichtbar. Wo er einen Term nicht Regel für Regel zerlegen kann, sagt er es und zeigt trotzdem die richtige Ableitung.

Merke: Prüfe Definitionslücken am ursprünglichen Funktionsterm: Bei \ln(x) oder \frac{1}{x} gibt es an manchen Stellen keine Tangente.

So rechnest du selbst

(x^n)' = n \cdot x^{n-1} \qquad (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' \qquad \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' v - u v'}{v^2} \qquad \big(u(v(x))\big)' = u'(v(x)) \cdot v'(x)

1Zerleg die Funktion in Summanden und leite jeden einzeln ab (Summenregel). Eine Zahl allein fällt weg, ein Faktor bleibt stehen: (3x^2 + 5)' = 3 \cdot 2x = 6x.
2Potenzen mit der Potenzregel: Der Exponent kommt nach vorn und wird um 1 kleiner, (x^4)' = 4x^3. Merk dir dazu (\sin x)' = \cos x, (\cos x)' = -\sin x, (e^x)' = e^x und (\ln x)' = \frac{1}{x}.
3Ein Produkt zweier x-Terme mit der Produktregel u' v + u v', ein Bruch mit der Quotientenregel, eine verkettete Funktion wie e^{2x} oder (3x^2 + 1)^5 mit der Kettenregel: äußere Ableitung mal innere Ableitung.
4Für die Tangente bei x_0: Steigung m = f'(x_0), Punkt P(x_0 \mid f(x_0)), also t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0).

Typische Fehler

Innere Ableitung vergessen: (e^{2x})' = 2e^{2x}, nicht e^{2x} – und (\sin(3x))' = 3\cos(3x). Bei der Kettenregel kommt immer die Ableitung der inneren Funktion als Faktor dazu.
Produkt wie eine Summe abgeleitet: (x^2 \cdot \sin x)' \neq 2x \cdot \cos x. Richtig ist die Produktregel: 2x \sin x + x^2 \cos x.
Exponent nicht verringert: (x^3)' = 3x^2, nicht 3x^3. Und eine Zahl allein fällt weg: (x^2 + 7)' = 2x.
Vorzeichen bei cos: (\cos x)' = -\sin x, aber (\sin x)' = +\cos x.