Flächeninhalt - regelmäßiges Sechseck
Koonys Schule
https://www.youtube.com/watch?v=zX3ZudE9kQg

Transkript (automatisch erstellt)

0:01 Du sollst den Flächeninhalt von einem regelmäßigen Sechseck bestimmen und gegeben ist dir nur die Seitenlänge des Sechseckes. Und wie man zu dieser Lösung
0:11 kommt, möchte ich dir jetzt mal zeigen, also auch mit diesen Gedankengängen. Und was du natürlich zuerst machst, auch wenn du überhaupt gar keinen Plan hast,
0:21 du schreibst dir raus, was du gegeben hast und du machst dir eine Skizze. Muss nicht perfekt sein. Hauptsache man kriegt die Idee, um was es geht. Nehme
0:33 ich mein Sechseck und alle Seiten sind gleich lang. Das machst du am besten auch mit einem Bleistift
0:43 und dann schreibst du dir auch raus, was gesucht ist, nämlich der Flächeninhalt, also hier groß der Flächeninhalt und dann schreibst du sogar schon mal hin,
0:54 dass du jetzt gleich mit der Lösung anfängst und dann fängst du erstmal an zu überlegen, wie sollst du denn diesen Flächeninhalt herausbekommen?
1:02 Das Thema ist Dreiecke und du kennst den Satz des Pythagoras und du weißt, wie du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest
1:12 und dann fängst du also an dieses Sechseck irgendwie in Dreiecke zu zerteilen und fängst dann vielleicht so an und
1:22 merkst, dass das dir überhaupt nichts bringt, weil jetzt hast du hier drin noch ein Stern und den Flächeninhalt von dem Stern zu berechnen, das geht nicht.
1:31 Also, das geht schon, aber das du hast noch keine Ahnung, wie das funktionieren soll. Und auch diese Dreiecke bringt dir nichts, weil du kennst ja bloß hier
1:39 unten diese eine Seite, das ist ja A, aber du brauchst ja auch diese Höhe und diese Höhe kriegst du nicht raus. Also dieses Dreieck, wenn dir nur eine Seite
1:51 gegeben ist, es müsste schon ein gleichseitiges Dreieck sein. Also alle Seiten müssten gleich lang sein, dann wüsstest du,
2:02 dass du den Flächeninhalt von diesem Dreieck berechnen kannst, indem du ein halb mal a mal H rechnest. Und dieses H kriegst du heraus, indem du den
2:12 Pythagoras aufstellst. Hier ein rechtwinkliches Dreieck. Die Hypotenuse ist A, die Kathete hier unten ist a halbe
2:23 und die andere Kathete ist H. Und somit kannst du diese Gleichung umstellen nach H und das dann hier einsetzen. Und somit wüsstest du bei einem gleichseitigen
2:36 Dreieck, wie groß der Flächeninhalt ist. Aber jetzt bist du hier bei diesem Sechseck und überlegst weiter und bist immer noch
2:45 tierisch genervt, weil du keine Ahnung hast, wie das gehen soll und dann kommst du auf die Idee, dass du einen Punkt in die Mitte mal,
2:54 irgendwo eine Sechseck und dann jede Ecke mit diesem Punkt verbindest. Dann freust du dich schon mal, dass du jetzt nur noch Dreiecke hast. Ah, das bringt
3:02 ja auch noch nicht wirklich viel, denn der Punkt, den hast du vielleicht hier irgendwo an die Seite gemalt und das war nicht so cool. Dann überlegst du
3:12 weiter und dann machst du das alles ganz schön symmetrisch. Du schreibst dieses regelmäßige Sechseck auf und setzt genau in die Mitte diesen
3:21 Punkt und dann verbindest du jede Ecke mit diesem Punkt. Und dann siehst du, ja, coole Sache. Jede Seite hier von diesem Dreieck ist
3:32 ja jetzt gleich lang. Also, es handelt sich hier um gleich schenkliecke hier außen. Dieses A, das kennst du.
3:41 Und dann siehst du auch, jeder Winkel hier drin ist gleich groß. Und da alles zusammen 360° sein müssen und das genau sechs Winkel sind, weißt
3:53 du? Hey, die Winkel hier sind 60°. Auch schön. Und dann kennst du gleich schenkliecke.
4:02 Bei gleich schenklichen Dreiecken waren diese beiden Winkel hier unten an der Basis auch immer gleich. Und weil alle Winkel zusammen 180° ergeben müssen
4:13 und 60° schon weg sind, bleiben noch 120 übrig. Und wenn die beiden gleich groß sein müssen, hast du auch 60°. Und somit hast du also
4:24 hier drin sechs Dreiecke, die alle jeweils 60° Innenwinkel haben. Und das sagt dir, dass jedes dieser Dreiecke ein gleichseitiges Dreieck ist. Denn wenn in
4:42 einem Dreieck alle Winkel gleich groß sind, dann sind auch alle Seiten gleich groß. Und somit handelt es sich nicht nur um ein gleichschenkliches Dreieck,
4:51 sondern sogar um ein gleichseitiges Dreieck. Und nachdem du diesen Prozess vollführt hast in deinem Kopf und dir das überlegt hast, dass du ein
5:01 gleichseitiges Dreie ein Sechseck in sechs gleichseitige Dreiecke einteilen kannst, kannst du die Aufgabe lösen, indem du deiner Skizze dieses Sechseck
5:15 in diese Dreiecke aufteilst. heranschreibst, dass jede Seite A ist, den Flächenhalt von einem Dreieck mal
5:27 mit A1 benennst und dann kannst du die Lösung aufschreiben. Und zwar ist nämlich der Flächeninhalt
5:35 6 mal der Flächeninhalt von einem dieser Dreiecke. Die sind ja alle gleich groß, also haben die auch alle den gleichen Flächeninhalt. Und der Flächeninhalt von
5:44 so einem Dreieck ist 1/ a mal h. Machen wir mal eine kleine Hilfsskize. Hier gleichseitiges Dreieck über alles
5:56 A. Jetzt gibt's hier diese Höhe. So immer am besten hinzeichnen, damit man weiß, was ist denn hier dieses H. Wenn das nirgendwo in der Skizze
6:05 auftaucht, dann kriegt das ein tierisch auf. Und was ist dieses H? Ja, hast du ja vorhin schon überlegt. Aus dieser Formel hier
6:16 kannst du die kannst du umstellen nach diesem H und das ist umgestellt A² - Aben in Klamation Quadrat und daraus die Wurzel,
6:28 das ist h. Also kannst du das hier vereinfachen erstmal 6 x/ das ist 3
6:37 mal a mal und jetzt kommt der Hteil die Wurzel aus a²-
6:47 Abe in Klammern zum Quadrat und damit bist du schon fertig. Jetzt bräuchtest du nur noch dein gegebenes A nehmen, das hier einsetzen und den Flächeninhalt
6:57 ausrechnen. Einige vereinfachen das gern noch und ich mache das auch sowas gerne. Deshalb mache ich das mal jetzt
7:08 noch schnell. Und zwar löse ich erstmal in der Wurzel die Klammer auf. Und
7:18 jetzt klammere ich dieses A² aus, dann bleibt übrig 1- 1
7:31 und jetzt kann ich mit dem Wurzelgesetz die Klammer auflösen, also die Klammer teilen.
7:41 Dann habe ich 3 x a mal die Wurzel aus a² mal die Wurzel aus und 1 - 1/ 3/4 und jetzt kann ich noch die Wurzel aus a² ist einfach a und a
7:55 mal x* mal a ist a² also 3* a² die Wurzel aus 3/4 ist das gleiche wie die Wurzel aus 3 durch die Wurzel aus 4. Also ist das die Wurzel aus 3 durch und
8:06 die Wurzel aus 4 ist 2. Also kommt man auf 3 mal die Wurzel 3, das alles durch 2* A² und das ist der Flächeninhalt
8:22 eines regelmäßigen Sechseckes.