Abstand Punkt Gerade - mit Hilfsebene und Lotfußpunkt
Kochrezepte für Mathematik
https://www.youtube.com/watch?v=yag6g_0M_2s

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 In diesem Tutorial werden wir uns anschauen, wie man den Abstand eines Punktes von einer Geraden mit einer Hilfsebene bestimmen kann. Für diesen
0:10 Abstandsproblem gibt's allerdings noch zwei gängige Alternativlösungswege mit dem sogenannten Orthogonalitätsverfahren oder mit einer
0:19 Formel Tutorials. Zu beide diese Alternativlösungswege findet ihr im Abspann oder oben rechts unter dem I-Punkt.
0:29 Bevor wir diesen Lösungsweg Schritt für Schritt anhand eines Beispiels kennenlernen werden, will ich im voraus mit Hilfe einer Planskizze schon mal
0:38 diesem Weg kurz beschreiben. Wir haben also ein Punkt und eine Gerade. Wenn wir in diesem Zusammenhang von
0:46 Abstand reden, dann ist natürlich der kürzeste Abstand gemeint und er trifft immer orthogonal auf dieser Geraden. Der Punkt, wo es landet, heißt
0:56 Lotwuspunkt und ist hier mit L gekennzeichnet. Unser Zwischenziel ist natürlich diesen Punkt L zu bestimmen, weil wenn man
1:05 diesen Punkt hat, dann kann man problemlos sozusagen den gesuchten Abstand bestimmen, indem man einfach die Länge dieses Vektors per L, ich deute
1:15 sie jetzt hier kurz an. Also die Länge dieses Vektors per L ist genau für uns der gesuchte Abstand. Um das zu erzielen, werden wir eine
1:25 sogenannte Hilfsebene bilden, die orthogonal zu dieser Geraden steht und deshalb wir den Richtungsvektor dieser Geraden als Normalvektor für unsere
1:35 Ebene benutzen können. Wie das Ganze genau abläuft, werden wir anhand des Beispiels sehen. Wir haben also ein Punkt P und eine
1:45 gerade G. Und zum besseren Verständnis habe ich noch unser Planskizze von vorher rechts abgebildet. Und um den gesuchten Abstand zu
1:54 bestimmen, brauchen wir natürlich L. Um L wiederum zu bestimmen, müssen wir zuerst dieser Hilfsebene aufstellen durch die Punkte P und L, wobei G
2:05 ortogonal zu dieser Ebene steht. Um eine Ebenengleichung aufzustellen, natürlich in Koordinatenform, weil es am günstigsten ist, brauchen wir natürlich
2:16 Normalvektor für unsere Ebene. Und weil G orthogonal zu E ist, können wir den Richtungsvektor unser Geraden, also das ist dieser hier hinten, als Normalvektor
2:26 für unsere Ebenen benutzen. Das sind dann genau die Koeffizienten vor x1, X2 und X3 bei der Koordinatenform. Entsprechend haben wir dann 3x1
2:39 + 2x2 + 2x3 sind erstmal b. Diese bssen wir noch bestimmen. Dafür müssen wir unbedingt
2:50 ein Punkt in dieser Ebene einsetzen, was bereits in der Ebene liegt. Und das können wir ganz gut anhand unserer Planskitze erkennen. Das ist natürlich
2:57 P. Also als Hinweis schreibe ich hier noch unten kurz P einsetzen. Natürlich ist das immer so. Und entsprechend haben wir dann 3* -2
3:14 + 2* -6 + 2* 1 sind= b. Jetzt fassen wir das Ganze zusammen. Also wir haben dann -6, dann -12 sind -18, + 2 sind das -16.
3:32 Und damit haben wir einen passenden Wert für b und damit können wir eine saubere Ebenengleichung angeben. Entsprechend sind das dann 3x1 + 2x2
3:44 + 2x3 sind dann -16. An unserer Abbildung können wir jetzt erkennen, dass L genau der Schnittpunkt
3:55 zwischen dieser Gerade und der Ebene ist. Deshalb ist Schritt Nummer 2 L als Schnittpunkt zwischen G und E bestimmen. Dafür zerlege ich natürlich die Gerade
4:06 in einzelnen Koordinaten, also Zeilenweise. Entsprechend habe ich dann x1= 5 + 3t,
4:15 x2 9 + 2t und x3 sind dann 1 + 2t. Und dieser Xer setzen wir dann für x1, X2 und x3 in
4:29 unser Ebenengleichung. Entsprechend haben wir dann 3* 5 + 3t + 2* Klammer auf 9 + 2t und + 2* 1 + 2t und das ganze ergibt
4:49 dann -16. Was wir jetzt noch machen müssen, ist die Gleichung zu lösen und deshalb löse ich hier zuerst die Klammer auf. Dann
4:58 habe ich entsprechend 15 + 9t + 18 + 4t + 2 + 4t sind = -16.
5:12 Ich fasse erstmal die ts zusammen. 9 + 4t + 4t sind 17t. Dann die Zahlen 15 + 18 sind 33 + 2 sind 35. Die bringe ich dann rüber mit -35.
5:30 Dann können wir -16 -35 miteinander verrechnen. Dann haben wir -51 geil durch -17 ergibt t -3. Natürlich nehmen wir jetzt diesen T-Wert und
5:43 setzen es in unserer Geradengleichung ein und damit haben wir den Lotfußpunkt. Also dann schreibe ich hier T in G einsetzen und damit kriegen wir L raus.
5:55 Also wir haben dann 5 + 3* -3 sind entsprechend 5 - 19 -4. Dann 9 + 2 x -3, 9 - 6 sind 3 und 1 + 2 x -3 sind -5. Das sind dann die
6:12 Koordinaten des Lotfußpunktes. Und mit diesem Punkt L und mit P können wir natürlich den Vektor PL L bilden und dann seine Le. Damit haben wir unser
6:25 Abstand. Also als erstes bilden wir natürlich den Vektor PL. Das wird nichts anderes als L- P.
6:34 L habe ich hier unten und P da oben. Also -4 -2 sind -2. Dann 3 -6 sind entsprechend 9 und -5 -1 sind -6. Dann die Länge dieses Vektors oder
6:51 Betrag vom PL ist dann Wurzel aus jeder einzelne Koordinate ins Quadrat. Dabei können wir die Vorzeichen komplett ignorieren. Wegen der Hoch 2
7:01 verschwinden sie sowieso und können dann auch das Ganze zusammenfassen. Wir haben dann 81 + 5 und + 36 ergibt 121
7:14 und Wurzel aus 121 sind natürlich 11. Damit hätten wir auch den Abstand. Es beträgt 11 Längeneinheiten. Weil es ein wichtiges Abstandsproblem
7:25 ist, schauen wir uns noch ein paar beliebte Anwendungswer an. Als erstes der Abstand zwischen zwei Parallele Geraden. Das kann man auch sehr einfach
7:35 bestimmen, den man einfach mal ein Punkt, z.B. der Stützpunkt von der einen geraden nimmt hier Punkt P und den Abstand zu der zweiten bestimmt.
7:44 Ein weiterer Anwendungsfall ist, wenn man die Höhe eines Dreiecks bestimmen möchte. Natürlich mit dem Ziel später das dem Flächenhal zu bestimmen. Da muss
7:54 man einfach nur den Abstand zwischen Punkt C und die Gerade durch die Punkte A und B bestimmen. Und noch ein Anwendungsfall, wenn man
8:05 die Höhe eines Parallelogramms bestimmen möchte, dann muss man natürlich ebenfalls den Abstand zwischen der einen Ecke, in
8:14 diesem Fall D, und die Gerade durch die Punkte A und B bestimmen. Zum Schluss wie gewohnt noch ein paar Hinweise. Wie bereits am Anfang gesagt,
8:25 gibt's für dieses Abstandsproblem noch zwei Alternativlösungswege. Einmal mit dem Orthogonalitätsverfallen, einmal mit der Formel.
8:33 Zu dieser zwei Lösungswege gibt's gleich im Abspannen auch noch Tutorials sowie für den Abstand eines Punktes von einer Ebene oder für den Abstand
8:44 Windchfergeraden. [Musik]