Newton-Verfahren (Nullstellen bestimmen)
Mathe - simpleclub
https://www.youtube.com/watch?v=xGemDmrCqEk

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 Das ist mal eine Friese. Brutal. Aber auch wenn sein Friseur scheinbar nicht sehr viel von seinem Handwerk verstanden hat, der Typ auf dem Bild Isaac Newton,
0:08 der hatte dafür ordentlich Ahnung. Was der außer Physik noch so drauf hatte, das zeigen wir euch heute. Heute geht's um das Newtonverfahren.
0:16 [Musik] Was das ist? Grob gesagt ist das ein Verfahren, um Nullstellen von Funktionen
0:26 abzuschätzen. Wichtig, die Funktion soll nicht linear sein. Warum nur abschätzen und nicht ausrechnen? Man kann halt viele Sachen nicht ganz so einfach
0:34 ausrechnen. Standardbeispiel: Was ist denn die Wurzel aus zwei? Ach so, klar. Taschenrechner fragen, easy. Muss eine Fragfrage sein. Nope, ist es nicht. Das,
0:43 was euer Taschenrechner euch da ausspuckt, ist immer nur eine Schätzung vom Wert, weil der echte Wert unendlich lange ist und auch nicht als Bruch
0:50 dargestellt werden kann. Was glaubt ihr aber, woher aber der Taschenrechner trotzdem die grobe Zahl weiß? Richtig, der rechnet nämlich mit der Newton
0:58 Iteration, also dem Newton verwahren oder zumindest so ähnlich. Mann, was ist dann das blöde Ding jetzt? Eine Sache noch vorher, eine kurze Wiederholung zu
1:06 Ableitungen und Tangenten. Kotz F(x) ist die Ableitung von der Funktion f an der Stelle x. Die Ableitung gibt an, wie stalt's an jedem Punkt hochgt. Die
1:15 Tangente eine Funktion ist eine Gerade. Die Gerade berührt den Graf an genau einer Stelle, aber schneidet nicht. Die hat die gleiche Steigung wie die Kurve
1:24 an der Berührstelle und auch den gleichen Funktionswert. Die Gleichung für eine Tangente ist die hier. y = der Funktionswert an der Berührstelle + X-
1:33 die Berührstelle mal die Ableitung von der Funktion an der Berührstelle. Okay, jetzt können wir anfangen. Lasst uns das am besten an dem Beispiel machen. Sagen
1:41 wir mal, das ist der Graf von eurer Funktion und ihr wollt die Nullstelle hier am roten Punkt rauskriegen. Weil ihr nicht genau wisst, wo die liegt,
1:48 werft ihr blind einen Dartpfeil und da, wo der landet, ist einfach eure Nullstelle. Ihr seht jetzt W ganz schön weit weg von meiner Nullstelle. Wie
1:55 könnte man das besser rauskriegen? Da kommt jetzt Mutant Spiel. Der hat nämlich jetzt gesagt, ey, man könnte doch jetzt einfach die Tangent an den
2:03 Punkt anlegen und da sucht man jetzt die Nullstelle davon. Von der nimmt man jetzt wieder den Funktionswert, hat also jetzt einen neuen Punkt auf dem Grafen.
2:10 An dem macht man jetzt das gleiche Spiel wieder. Zuerst legt man die Tangente an den Punkt an. Jetzt sucht man da wieder die Schnullstelle und nimmt den
2:17 Funktionswert von der Stelle. Da jetzt dann wieder die Tangente dran. Und wenn man das jetzt paar mal macht, hat man irgendwann die Nullstelle recht nah
2:24 getroffen. Hier jetzt mit der dritten Tangente. Natürlich seht ihr vielleicht, wenn man an irgendeiner falschen Stelle anfängt, kommt Scheiße raus und nicht
2:31 das, was wir wollen. Hier die Tangente wäre z.B. wagrecht, also nichts mit Nullstelle. Heißt für uns, manchmal klappt's, manchmal aber auch nicht.
2:39 Passt der Anfangswert nicht? Kommt entweder eine falsche Nullstelle raus oder das Newton Verfahren rechnet irgendwelche Werte aus, die überhaupt
2:45 nichts bringen. Also, wie geht das jetzt aber zu rechnen? Wir haben ja mit irgendeinem Anfangspunkt angefangen, den nennen wir mal x1. Dann haben wir ja
2:53 gesagt, wir legen die Tangente an die Stelle x1 an. Also haben wir für die erste Tangente die Gleichung y = der Funktionswert von x1 + x- x1 mal die
3:03 Ableitung bei X1. Wir haben ja vorhin immer die Nullstelle von der Tangente gesucht, also setzen wir die ganze Gleichung mal 0. Jetzt formen wir nach x
3:11 um. Erstmal minus den Funktionswert und dann durch die Ableitung. Jetzt noch + x1. Fertig. Das ist jetzt unser nächster Punkt, den nennen wir jetzt mal x2. Um
3:21 den dritten Punkt rauszukriegen, machen wir ja den ganzen Kack mit der Tangente anlegen und som mit dem zweiten Punkt. Also ist x3 = X2 - der Funktionswert bei
3:29 X2 durch die Ableitung bei X2. Und allgemein, um den 12 + ein Punkt rauszukriegen, setzt man in die rechte Seite überall den 12en ein. Okay. Und
3:39 wie lange macht man den Shit? Ihr guckt euch bei jedem X, das ihr rauskriegt, die ersten beiden Nachkommastellen an. Wenn die bei 2 xen hintereinander gleich
3:46 bleiben, seid ihr fertig. Das ist dann genau genug, aber das lieber mal an dem Beispiel, sonst raucht das ja keine Sau. Wir nehmen die Funktion hier x hooch 3 +
3:55 2x - 5. Da kann man jetzt kein x ausklammern. Nullstellenraten klappt auch nicht und die PQformel fundt nur bei hoch 2. Also Newtonit ist. Die
4:04 Ableitung brauchen wir dafür, die ist 3x hoch 2 + 2. Wo fangen wir das Ganze an? Gucken wir uns mal die Wertetabelle an. Lasst euch die entweder mit dem
4:12 Taschenrechner ausrechnen, wenn ihr dürft, oder wenn ihr perverses Pech habt, müsst ihr es halt per Hand machen. Irgendwo zwischen x = 1 und x = 2 muss
4:19 der Graf mal durch die 0 durchgehen. Weil der Funktionswert bei der 1 näher an der 0 ist, nehmen wir einfach mal die 1 als Startwert. Das setzen wir jetzt in
4:27 unserer Newton Formel ein. 1- den Funktionswert bei 1 durch die Ableitung bei 1. Funktionswert ist -2, die Ableitung ist 5. Unser nächstes x 1,4.
4:38 Das setzen wir jetzt wieder ein in unsere Funktion für den dritten Punkt. Das jetzt auf jeden Fall mit Taschenrechner kann ja keine Sauso macht
4:44 für das dritte X 1,33 irgendwas. Jo, das setzen wir jetzt wieder ein. Für das vierte x wieder genauso macht 1,20 dann wieder die alte Leer für das fün x
4:55 kommt 1,25 irgendwas raus. Ja und so weiter bis beim achten werden es die ersten Nachkommastellen gleich bleiben. Top. Also hier ist ungefähr die
5:04 Nullstelle bei 1,24048. Aber nur grob. Okay, super gut gemacht Leute. Testet euch mal in unserer Aufgabe. Berechnet die Wurzel aus zwei
5:14 auf zwei Nachkommastellen mit dem Newton Verfahren. Tipp: Versuch dazu ein Polynom zweiten Grades aufzustellen, dass die Wurzel aus zwei als Nullstelle
5:22 hat, aber wo nicht die Wurzel aus zwei drin ist, das kriegt ihr hin. Und hier rechts geht's dann direkt zur Lösung. Einfach klicken. Ach ja, wenn ihr das
5:29 Polynom rausgekriegt habt, schreibt's mal in die Comments. Wir sind gespannt. Lösung gibt's wie immer morgen. Haut rein. Wir sehen uns. Bis bald. Wir haben
5:35 euch lieb. Co?