Spatprodukt, gemischtes Produkt, Volumen berechnen von Parallelepiped, Prisma, Pyramide, Tetraeder
MathePeter
https://www.youtube.com/watch?v=wuxrvlwaVco

Transkript (automatisch erstellt)

0:02 ich bin mit peter und in diesem video geht es in der sparte produkt da ist spart produkt oder auch gemischtes produkt wird von drei faktoren aus dem
0:09 dreidimensionalen raum berechnet denn wie sie zum beispiel a b und c das spart produkt ist jetzt eine zusammensetzung dieser drei vektoren mit
0:21 hilfe von dem scala produkt und dem kreuz produkt eine mögliche definition könnte jetzt so hier aussehen x b x t wobei der mal punkte der skala produkt
0:31 und das ixs für das kreuz produkt steht eine mögliche interpretation von diesem sport produkt könnte so aussehen wir haben drei vektoren a b und c im raum
0:42 und diese drei vektoren spannen falls die linie unabhängig sind so ein volumen auf und das spart produkt
0:56 berechnet jetzt das orientierte volumen von diesem körper hier dieser körper hier der hat in jeder seite so ein parallelogramm als fläche man nennt
1:08 diesen körper auch spart oder parallelität oder wenn du dir vielleicht besser was du dir vorstellen kannst wenn es noch kennt sieht aus wie die
1:14 playstation 4 und wie gesagt dieses spart produkt berechnet dass orientierte volumen davon das heißt als ergebnis kommt das volumen raus entweder mit
1:23 einem positiven oder einem negativen vorzeichen das heißt auch wenn wir jetzt weiter denken sollten die drei vektoren linie abhängig sein also sollten alle
1:31 drei vektoren in einer ebene liegen also da zb hiermit in der ebene von boc liegen dann würden die drei kein volumen aufspannen und damit wäre diese
1:41 spaltprodukt gleich null spannend ist auch dass du bei der vertauschung von zwei beliebigen vektoren das vorzeichen änderst also sollte ein vector seine
1:54 position beibehalten und zwei andere ihre position tauschen sie hier wenn ich da und b vertauscht dann ändert sich lediglich das vorzeichen und das kann
2:08 ich so oft machen ich möchte wenn ich zum beispiel hier a und c vertauscht dann ändert sich wieder das vorzeichen das hat im übrigen auch mit der
2:15 definition von dem kreuz produkt zu tun an dieser stelle hier ja oder wenn ich hier zum beispiel nochmal b und c vertauscht erinnert sich wieder das
2:24 vorzeichen also immer wenn ich zwei vektoren vertauschte und der dritte seine position beibehält dann ändert sich das vorzeichen und auch hier kann
2:33 man auch ganz gut sehen bei den beiden das d behält seine position bei nur a und c haben ihre position vertauscht so kannst du dir das spart produkt
2:41 vorstellen so wird es berechnet und bei der vertauschung zweier vektoren ändert sich lediglich das vorzeichen schauen uns das ganze mal direkt am beispiel
2:48 angegeben sind drei vektoren abc und gesucht ist der spaltprodukte x b x 10 zuallererst mal solltest du immer das kreuz produkt ausrechnen also in diesem
2:59 fall das kreuz produkt von 0 52 und 4 17 das kreuz produkt in dreidimensionalen ist definiert wieder als ein dreidimensionaler vector und den kannst
3:12 du ziemlich einfach berechnen indem du für die erste komponente die erste zeile zu hältst und die verbleibenden wert über kreuz multipliziert also fünfmal 7
3:20 - 2 x 1 ist gerade 35 - 21 33 für das letzte element hältst du die letzte zeile zu und multipliziert überkreuz also 0 x 1 - 5 mal 4 das ist gerade -20
3:35 und für das mittlere element machst du es fast genauso du hältst die mittlere zeit zu und multipliziert die restlichen vier werte wieder über kreuz also 007 -
3:45 zweimal 4 das ist eine -8 allerdings muss wenn du das auf diese einfache weise machen möchte ist von dem mittleren element noch das vorzeichen
3:55 geändert werden auf der ich gefragt ob das eine mathematische regel ist nein ist es nicht aber es gibt doch eine festgelegte
4:03 definition für das kreuz produkt und wenn du es wirklich auf diese einfache weise mit dem zu halten machen möchtest dann entspricht das ergebnis nur dann
4:11 der definition von dem kreuz produkt wenn du eben von den mittleren element noch das vorzeichen ändert also damit dass alles funktioniert wo es nur von
4:18 den mittleren element noch das vorzeichen geändert werden hier steht eine +8 wenn du gerne nochmal das kreuz produkt wiederholen möchte story gern
4:25 noch mal das video auf jeden fall muss jetzt nur noch dieses jahr produkt hier ausgerechnet werden und eventuell wirst jetzt sagen moment mal skala produkt war
4:34 doch immer zeile x spalte stehen aber zwei spalten rektoren ja streng genommen müsste man jetzt hier noch seinen transponiert zeichen dran schreiben aber
4:41 da ich am anfang gesagt habe dass dieser mal punkt für das klappt und steht ist das vollkommen in ordnung wir rechnen einfach die zugehörigen komponenten
4:48 zusammen indem er sie multiplizieren und dann addieren wir einfach die produkte zweimal 33 ist 66 einmal 88 und 420 ist - 80 zusammengerechnet ergibt sich die
5:03 beiden zb ergibt - 14 + 8 sind wir bei einer - 6 alternativ kannst du aber auch dieses spaltprodukt berechnen über die
5:13 determinante eine matrix die aus genau diesen drei vektoren in genau dieser zusammensetzung besteht falls du schon mal was von der determinante einer
5:24 quadratischen matrix gehört hast du kannst ja auch gerne mal die videos von mir dazu anschauen um das ganze zu wiederholen solltest du noch nicht
5:32 kennen gelernt haben dann schaut sie jetzt einfach noch mal an für eine matrix und dreidimensionalen kanzel nämlich die regel von zwei benutzen eine
5:40 regel zur determinanten berechnung von matrizen im dreidimensionalen raum eben dann schreibst du die beiden ersten spalten noch mal daneben oder du
5:48 behältst du dir im kopf es geht auch wenn das nicht alles aufschreiben möchtest und dann ganz wichtig multipliziert du die diagonalen die von
5:56 links oben nach rechts unten führen 2 x 5 x 7 also 35 x 270 0 x 10.4 x 1 x 2 ist eine 8 und die diagonalen die von links unten
6:11 nach rechts oben führen diese produkte die ziehst du ab oder anders gesagt die produkte hier davon änderst du noch das vorzeichen und
6:20 schreibst du noch mit hinter also 4 x 5 x 24 x 480 und wie gesagt dass er ein produkt von links unten nach rechts oben ist
6:29 ändern noch das vorzeitig - 80 medizin ist ab 2012 ist eine vier bis minus vier und sieben mal 10 ist ich schreibe ich auch
6:39 nicht mit auf und siehst du das da kommt genau das gleiche raus denn wenn ich rechne 70 42 66 66 plus 8 - 80 in euro wies oben steht er gibt dasselbe
6:50 ergebnis also das hier ist einfach nur ein alternativer weg über die determinanten wenn du mir jetzt nicht den spaß mit dem kreuz produkt machen
6:57 möchtest so guter letzt möchte ich mit dir gerne noch dieses ergebnis her geometrisch interpretieren wir haben ja gesagt dass das spart produkt einfach
7:05 nur das orientierte volumen von diesen körper hier berechnet von diesem staat diese parallelität oder dieser playstation 4 wenn du möchtest also wenn
7:15 als ergebnis eine -6 bei rauskommt dann wissen wir dass das volumen von diesem staat gleich sechs ist damit aber noch nicht
7:25 genug denn angenommen es ist jetzt nicht nach dem volumen von dem sport gefragt sondern nach dem volumen von einem krismer das von a b und c aufgespannt
7:36 wird so ein prisma hat in der grund ebene hier sollen dreieck und wenn dir dieses dreieck jetzt in die höhe ziehen naja dann haben wir in so ein prisma und
7:45 das volumen von diesen prisma das ist einfach gerade das kannst du vielleicht noch gut sehen die hälfte von dem volumen des sports als eine 3 aber damit
7:56 auch noch nicht genug manchmal wird nämlich nicht nur nach dem volumen von dem staat oder von diesem prisma gefragt sondern vielleicht auch nach dem volumen
8:04 von einer pyramide die in der grund ebene so eine ein parallelogramm hat und naja eben eine spitze umhin das volumen von dieser pyramide
8:20 das ist einfach nur ganz wichtig ein drittel von dem volumen des staates bitte unbedingt auswendig einträgen also ein
8:29 drittel von dieser sechs das ist dann gerade eine 2 aber auch damit noch nicht genug einfach nur um alles mal in einem video zusammenzufassen in einer skizze
8:38 manchmal ist auch einfach nur das volumen eines täters gefragt arm wenn wir jetzt in der grundfläche kein nicht dieses programm ist ein viereck
8:49 sondern einfach nur ein dreieck ja mit derselben spitze hier oben dann ergibt sich zum tetraeder das ist ein körper der in
9:01 jeder als jede seite sind drei eckhardt und das lässt sich vielleicht auch noch gut erkennen ist einfach nur die hälfte von
9:08 diesem führer mieden volumen also im endeffekt ein sechstel von dem volumen des staates und damit einer 1 damit hast du noch eine schöne spitze didier alle
9:20 möglichen fragestellungen der prüfungen zusammen fährst volumen eines spaß volumen des prisma das volumen der pyramide mit
9:28 viereckiger grund seite und volumen der pyramide mit dreieckiger grund seite oder nennen wir es beim namen volumen des täters viel spaß damit und bis zum
9:37 nächsten video hätte ich auch das video hat der gerade gefallen wenn du dich demnächst auf einer matte prüfung vorbereiten muss dann schaue unbedingt
9:44 mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen verlinkte die ich bestmöglich auf die prüfung vorbereiten wenn ihr das video
9:50 weitergeholfen hat und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann erzählt einfach seinen kommilitonen deinen freunden und einer familie von
9:56 mir und abonniert den kanal danke dir