STEIGUNG in einem Punkt berechnen – Ableitung, Funktion ableiten
MathemaTrick
https://www.youtube.com/watch?v=wo1htpyG9w8

Transkript (automatisch erstellt)

0:00 hallo ihr Lieben heute möchte ich euch an diesen drei Beispielen zeigen wie man die Steigung einer Funktion an einer speziellen Stelle x0 berechnen kann lass
0:10 uns mal mit dem ersten Beispiel starten wir bekommen diese Funktion hier das hier ist unsere Stelle x0 also bei 1 sollen wir die Steigung berechnen und
0:21 sobald dieses kleine Wörtchen auftaucht wissen wir sofort dass wir auf jeden Fall die Ableitung von unserer Funktion bilden müssen also f Strich also sobald
0:31 da Steigung steht wisst ihr ihr müsst ableiten und das würden wir jetzt mal als allererstes machen also F STR von X bilden mit den ganz normalen
0:41 Ableitungsregeln wie wir sie kennen hier haben wir ja eine ganz rationale Funktion also x hoch einer Zahl und da gibt es ja die Regel dass man diese
0:50 Hochzahl mit der Zahl vorne dran multipliziert also dreimal wie heißt die Zahl hier vorne dran wenn da keine Zahl zu sehen ist
0:59 dann steht da mal so eine 1 also 3 x -1 hier in dem Fall jetzt das wären -3 und dann wird die Hochzahl eins kleiner gemacht aus der x hoch 3 wird
1:09 eine x hoch 2 genauso jetzt mit dem nächsten Teil das Plus übernehmen wir und auch hier die 2 wird mit der 3 multipliziert was 6 ergibt und dann wird
1:20 die Hochzahl eins kleiner gemacht aus der 2we wird eine 1 oder ja ihr müsst dann auch nichts mehr hinschreiben und hier hinten bei dem Teil da ist ja gar
1:27 kein X drin da ist es dann so dass der Teil einfach wegfällt beim Ableiten also die Ableitung wäre Null da müssen wir nichts mehr hinschreiben sobald kein X
1:36 mehr drin vorkommt und das wäre jetzt unsere Ableitung F von X da müssen wir jetzt nur noch unsere Stelle einsetzen die uns interessiert also hiermit können
1:47 wir jetzt die Steigung Berechnen von jeder Stelle die eben angegeben ist bei uns ist das jetzt nur die einzige Stelle die hier gefragt ist nämlich bei x = 1
1:57 sollen wir die Steigung ausrechnen deswegen setzen wir die ein einfach in die Ableitung rein und berechnen das aus also berechnen F STR von 1 weil das hier
2:09 so gefordert war für jedes x was hier ist setzen wir eben die 1 ein das heißt -3* 1 hoch 2 was einfach nur 1 ist und hier hinten 6 x 1 wären 6 dann hätten
2:23 wir hier -3 x 1 s -3 + 6 wären 3 und das wäre unsere St an der Stelle die hier vorgegeben war falls jetzt noch andere Stellen
2:35 vorgegeben sind müssen wir in die Ableitung einfach diese Zahlen dann für das X einsetzen und ausrechnen und schon haben wir es also es ist gar nichts
2:43 schlimmes wir brauchen immer nur die Ableitung und bevor wir zum zweiten Beispiel übergehen möchte ich euch gerade mal noch anschaulich zeigen was
2:51 wir hier berechnet haben dazu habe ich die Funktion mal Gezeichnet die sieht so aus das ist der rote Graf hier das ist unsere Funktion und es ging ja die ganze
3:00 Zeit um die Stelle x0 = 1 also hier wenn wir auf der x-Achse zuur 1 laufen und dann runter zu unserem Grafen hier um diesen Punkt ging es die ganze Zeit in
3:10 diesem Punkt wollten wir wissen wie ist die Steigung da von unserer Funktion und wir haben schon mit einer Rechnung mit der Ableitung rausgefunden dass die
3:20 Steigung dort wohl 3 ist das können wir aber auch grafisch überprüfen indem wir die Tangente einzeichnen was ist jetzt die Tangente eine Tangente bezieht sich
3:31 immer auf einen Punkt also die Tangente sieht hier anders aus als wenn wir sie hier einzeichnen oder auch hier einzeichnen das kommt immer drauf an wo
3:39 wir uns befinden aber es ist immer eine gerade die wir jetzt hier einzeichnen müssen die sich an den Grafen hier in diesem Bereich anschmiegt also ich
3:49 probiere es mal gerade zu zeichnen das wäre ungefähr wenn ihr hier so ein Lineal dran haltet muss sie sich hier in dem Bereich schön anschmiegen und es
3:57 ging jetzt ein bisschen daneben das dachte ich mir schon deswegen habe ich es noch mal schön vorbereitet so sollte die Tangente in schön aussehen die
4:06 Tangente sieht überall anders aus also hier in dem Punkt wenn man da ein Lineal dran hängt oder dran hält dann würde die ungefähr eben so aussehen also je
4:16 nachdem wo man sich befindet sind die Tangenten eben anders und um die Steigung von unserer Funktion jetzt grafisch zu berechnen müssen wir einfach
4:24 nur die Steigung von dieser Geraden bestimmen und da kommt das Wörtchen steigungsdreieck ins Spiel was man früher so mochte da ist es ja so wenn
4:36 ich die Steigung jetzt wissen will dann bin ich ja eins zur Seite gegangen und dann so viel hoch bis ich wieder auf meine gerade treffe also das wäre 1 2 3
4:47 ich bin also eins nach rechts und drei nach oben und damit habe ich die Steigung drei was wir ja schon ausgerechnet hatten also das wäre die
4:55 anschauliche Variante davon dass man eben die Steigung auch grafisch berechnen kann natürlich immer nur wenn die Zahlen dann so genau sind dass man
5:04 das eben zeichnen kann rechnerisch ist natürlich um einiges genauer aber es geht eben auch so so so viel zur Anschauung Beispiel Nummer 2 hier haben
5:14 wir einfach nur eine andere Funktion eine andere Stelle aber das Prinzip bleibt dasselbe wir bilden als allererstes die Ableitung also g STR von
5:25 X jetzt sieht unsere Funktion nicht mehr so schön aus wie am Anfang wir können es aber hinbekommen dass sie wieder eine ähnliche Struktur hat und zwar ist der
5:34 Bruch hier ja relativ simpel gestrickt wir haben im Zähler nur eine Zahl stehen also da steht jetzt nicht noch irgendwas mit X dass man die Quotientenregel
5:44 anwenden müsste die relativ umfangreich ist und die man auch erst relativ spät lernt wir haben einen schönen Bruch hier den wir erstmal umschreiben können wir
5:55 können dieses x hoch 2 nämlich aus dem Nenner in den Zähler schreiben also dass da nicht mehr steht 4 durch x hoch 2 sondern 4 mal eine kleine Änderung
6:06 müssen wir machen aus dem x hoch 2 wird ein X hoch-2 also eine negative Hochzahl müssen wir hier draus machen dann können
6:15 wir das so umschreiben jetzt ist das eben eine negative Hochzahl was aber gar nichts macht denn jetzt hat es genau die Struktur von diesem Potenzfunktionen und
6:23 wir können die ganz normal ableiten wie wir es gewohnt sind wenn wir mal noch mal zur Ableitung kommen wir multiplizieren die Hochzahl mit der Zahl
6:32 vorne dran also -2 x 4 wären -8 und dann wird die Hochzahl eins kleiner gemacht und da muss man immer ein bisschen aufpassen am Anfang eins kleiner machen
6:42 bedeutet -1 zu rechnen also -2 -1 wären -3 das wäre unsere neue Hochzahl und das wäre jetzt unsere Ableitung allerdings können wir uns
6:56 unter negativen Hochzahlen oft nie so viel vorstellen oder nicht so gut damit rechnen deswegen würden wir das doch noch mal in diese bruchschreibweise
7:04 umschreiben wie funktioniert es wenn wir das noch mal in den Bruch umwandeln wollen die Zahl die hier vorne dran stand die stand im Zähler also diese -8
7:13 die hier vorne dran stand die schreiben wir schön in den Zähler rein und dieses x hoch -2 haben wir in den Nenner gepackt aber mit einer positiven
7:21 Hochzahl also X hoch-3 kommt in den Nenner aber mit einer positiven Hochzahl das wäre unsere Ableitung also eine schöne Form von unserer Ableitung ist
7:31 das jetzt Ende nö wir haben zwar die Ableitung gebildet aber wir wollten die Steigung an dieser Stelle berechnen also müssen wir die -4 auch noch in die
7:42 Ableitung einsetzen also g Strich von -4 berechnen weil die Steigung hat uns eben an dieser Stelle interessiert nicht allgemein in Abhängigkeit von X sondern
7:55 an dieser Stelle also rein da für jedes x was hier vorkommt packen wir die -4 rein also -8 steht oben und unten hätten wir für das X -4 eingesetzt schöne
8:06 Klammer drumrum denn all das soll hoch 3 genommen werden das müssen wir jetzt noch mal ausrechnen die -8 lassen wir mal oben -4 ho 3 wäre -4 x -4 x -4 vom
8:17 Vorzeichen wissen wir schon mal es wird negativ weil das eben hoch na ungeraden Zahl ist und was wäre 4 x 4 x 4 4 x 4 wären 16 noch mal mal 4 wären
8:30 64 und dann können wir noch einmal kürzen die Minusse kürzen sich weg also -1 und -1 h sich raus und die 8 und die 64 sind beide durch 8 teilbar also 8 dur
8:41 8 W 1 64 dur 8 W 8 und dann hätten wir ein a als Steigung an der Stelle -4 von dieser Funktion hier also das wäre dann das Ergebnis was letztendlich gesucht
8:56 war und dann noch im letzten Beispiel das ist so ein bisschen speziell das verwirt oft einige wir schauen mal an welcher Stelle da was passiert wir
9:06 sollen genau delbe machen die Steigung berechnen dazu brauchen wir erstmal die Ableitung okay bilden wir mal h STR von X das haben wir jetzt glaube ich
9:15 verstanden dass wir das auf jeden Fall brauchen um die Steigung zu berechnen 2x abgeleitet ist so dass wenn da wirklich nur ein X drin ist also x hoch 1 dann
9:26 fällt das X beim Ableiten einfach weg und nur die Zahl die vorne dran Stand bleibt übrig also diese 2 das ist die schnelle Variante wie man diese
9:35 Ableitung bilden kann falls sich einige von euch jetzt fragen was das für eine Regel ist das ist genau dieselbe Regel von eben wir können Sie mal durchgehen x
9:44 hoch 1 steht hier ja das heißt die Hochzahl wird mit der Zahl vorne dran multipliziert 1 x 2 wäre 2 ich schreib das mal hier unten hin und was passiert
9:53 dann mit der Hochzahl die wird eins kleiner gemacht 1- 1 wäre 0 und x H also irgendwas hoch 0 ist immer 1 also hier steht eigentlich eine 1 2 x 1 sind 2
10:06 also das ist die lange oder ausführlichere Erklärung wie man auf diese Ableitung hier kommt das wäre jetzt die Ableitung uns interessiert die
10:16 Steigung an dieser Stelle das heißt die dreih/be müssen wir noch einsetzen also bilden wir h von 3/be was bedeutet für jedes x was wir hier finden und da ist
10:29 kein X da wir wollen aber in das X was nicht vorhanden ist die dreihalbe einsetzen und das verwirrt also diese Stelle verwirrt sehr viele weil die
10:39 wollen unbedingt was einsetzen aber wenn kein X da ist dann kann sich halt auch nichts verändern also die Ableitung bleibt immer bei 2 egal welche dubiose
10:51 Zahl ihr irgendwie hier einsetzen wollt die Steigung bleibt immer bei Z und wie können wir uns das anschaulich erklären warum die Steigung immer 2 ist lasst uns
11:01 mal diese Funktion hier zeichnen 2x gezeichnet ist einfach nur diese ganz normale gerade und da sieht man schon die Steigung von so einer Geraden ist ja
11:13 überall gleich wir sollten die Steigung bei dreih/be berechnen also bei 1,5 hier wenn wir da zu unserer Funktion gehen wäre das in diesem Punkt dann können wir
11:23 das steigungsdreieck gerade mal noch einzeichnen das heißt eins nach rechts und ein 2 nach oben die Steigung ist definitiv Z
11:33 so wie wir es auch berechnet hatten mit der Ableitung aber die Steigung ist eben nicht nur hier zwei sondern egal an welche Stelle ihr von eurer Funktion
11:42 geht da ist die Steigung eben immer Z weil wir hier Beier geraden sind und sich die Steigung da einfach nicht ändert deswegen passt das mit dem was
11:50 wir ausgerechnet haben ja das war das letzte Beispiel dann hoffe ich dass es Euch einen schönen Einblick in dieses ganze Thema gegeben hat euch noch einen
11:58 schönen Tag und bis zum nächsten video